© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1.

       
  I. onderaan een prisma, daarop een piramide.

prisma:
   grondvlak  h2 + 1,52 = 32  ⇒  h = 6,75 dus oppervlakte  0,5 • 3 • 6,75 = 3,897
   hoogte 4, dus inhoud  3,897 • 4 = 15,588

piramide:
   grondvlak een driehoek en een rechthoek
   0,5 • 3 • 1 + 3 • 2 = 7,5
   hoogte 6,75, dus inhoud  1/3 • 7,5 • 6,75 = 6,495

totale inhoud is dan 15,588 + 6,495 ≈ 22,1
       
  II een balk plus 4 prisma's (AEF.DCB)  plus 4 piramides (A.EGHF)

balk heeft inhoud:   6 • 2 • 4 = 48

prisma.
grondvlak  0,5 • 1 • 2 = 1
hoogte 6, dus inhoud 1 • 6 = 6

piramide:
grondvlak  1 • 1 = 1
hoogte 2, dus inhoud  1/3 • 1 • 2 = 2/3

Samen geeft dat  48 + 4 • 6 + 4 • 2/3 = 742/3  = 74,7
       
  III twee prisma's en een balk en een piramide

balk:  4 • 4 • 2 = 32

prisma1 (bovenop): 
grondvlak  0,5 • 4 • 1 = 2
hoogte 4, dus inhoud 4 • 2 = 8

prisma2 (vooraan)
grondvlak  0,5 • 2 • 4 = 4
hoogte 2 dus inhoud 2 • 4 = 8

piramide:
grondvlak 1 • 2 = 2
hoogte 4 dus inhoud  1/3 • 2 • 4 = 8/3

Samen geeft dat 502/3 = 50,7
       
2. Zoals je hiernaast ziet is het een kubus waar 8 piramides zijn afgehaald.
x2 + x2 = 42  geeft  2x2  = 16  dus  x = 8

inhoud hele kubus:  (28)3  = 648

piramide:
grondvlak  0,5 • 8 • 8 = 4
hoogte 8 dus inhoud  1/3 • 4 • 8 = 4/38

Dan blijft over:  648 - 8 • 4/38 = 531/38 = 150,86 

       
3a.

       
  Onder vlak IJKL is er een balk waar 4 piramides zijn afgehaald.
Boven vlak IJKL is er een piramide.

De balk heeft inhoud 10 • 10 • 9 = 900   m3
een piramide heeft inhoud   1/3 • (1/2 • 5 • 5) • 3 = 121/2  m3
 
EH2 = 52 + 52  dus  EH = 50
De bovenste piramide heeft inhoud  1/3 • (50 • 50) • 3 = 50 m3

Samen geeft dat inhoud  900 - 4 • 121/2 + 50 = 900  m3
       
3b. AE2  = 32 + 52 = 34  dus  AE = 34
Alle zijden van zo'n ruit zijn dus 34
EH = 50 (zie vraag a)

TM2 = (34)2 - (1/250)2 = 34 - 12,5 = 21,5 dus  TM = 21,5
Oppervlakte HET is dan 1/250 • 21,5
Oppervlakte van de ruit is dan  50 • 21,5 = 1075

De 4 ruiten samen hebben oppervlakte 41075 = 131 m2

       
4.

       
  De zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden 4.
h2 = 42 - 22 = 12  dus  h = 12
De oppervlakte van zo'n driehoek is dan 1/2 • 4 • 12 = 212
De oppervlakte van de zeshoek is dan 1212
De inhoud van het hele prisma is  12 • 1212 = 14412
Daar moeten nog twee piramides van af.
Het grondvlak van zo'n piramide is driehoek ABC en de oppervlakte daarvan is 212 (gelijk aan de oppervlakte van zo'n gelijkzijdige driehoek)
De inhoud is dan 1/3 • 212 • 6 = 412
De inhoud van het lichaam is  14412 - 2 • 412 = 13612 ≈  417
       
5.

       
  De inhoud is:  piramide ABCD.E waar PQRS.E van afgehaald moet worden  en waar piramide PQRS.T bij opgeteld moet worden.
ABCD.E heeft inhoud  1/3 • 4 • 4 • 3 = 16
  Zie het vooraanzicht hiernaast.

Kies O als oorsprong dan is  TV de lijn y = 8 - 8x en EC de lijn y = 3 - 1,5x
snijden:  8 - 8x = 3 - 1,5x
6,5x = 5  dus  x = 10/13 en dan is  y = 24/13
Dan is  PQ = 20/13
Verder is de hoogte van piramide E.PQRS gelijk aan 3 - 24/13 = 15/13
De hoogte van piramide PQRS.T is 8 - 24/13 = 80/13

PQRS.E heeft inhoud  1/3 • (20/13 20/13) • 15/13 = 0,910
PQRS.T heeft inhoud  1/3 • (20/1320/13) • 80/13 = 4,855

De torenspits heeft inhoud  16 - 0,910 + 4,855 = 19,95
 
       
6.

       
  A balk met inhoud 6  • 10 • 8 = 480
prisma met inhoud  (1/2 • 6 • 8) • 10 = 240
Totale inhoud 720
       
  B. Piramide A.BCD heeft hoogte  2 en grondvlak BCD met oppervlakte 1/2 • 6 • 8 = 24
inhoud is dan  1/3 • 24 • 2 = 16
Totale inhoud  720 - 2 • 16 = 688
       
  C1. AR is doorgetrokken naar S zodat PQS loodrecht op het grondvlak staat.
Omdat PQ lengte 3 heeft ligt PQ halverwege de hoogte van het dak.
Dan is AS de helft van AB en dat is 1.
De oppervlakte van PQS is  1/2 • 3 • 4 = 6
De inhoud van piramide A.PQS is  1/3 • 6 • 1 = 2
De inhoud van piramide R.PQS is  1/3 • 6 • 3 = 6
De inhoud van  RAPQ is dan  6 - 2 = 4
Totale inhoud 688 - 2 • 4 = 680
       
  C2. LM ligt op 2/3 deel van de hoogte van het dak
Daarom is AK = 1/3 • AB = 2/3
Oppervlakte KLM is  1/2 • 2 • (1/3 • 8) = 8/3
inhoud A.KLM is  1/38/32/3 = 16/27
Totale inhoud is 688 + 2 • 16/27 = 6985/27
       
7. de voorkant is een rechthoek plus een vierkant plus twee kwartcirkels.
rechthoek:  100 • 60 = 6000
vierkant:  20 • 20 = 400
twee kwartcirkels:  2 • 1/4π • 202 = 200p
totale oppervlakte is dan  6000 + 400 + 200π = 7028,32
De inhoud is dan  7028,32 • 40 = 281132,74 cm3
Dat is ongeveer 281 liter
       
8 a. Het karretje is een prima met hoogte 30
Het voorvlak is een rechthoek waar 2 driehoeken zijn afgehaald.
Oppervlakte is  50 • 30 - 1/2 • 20 • 10 - 1/2 • 10 • 20 = 1300 cm2

De inhoud is dan 1300 • 30 = 39000 cm3
       
  b. Het onderste deel is ook een prisma met hoogte 30
Het voorvlak is een rechthoek waar 1 driehoek is afgehaald.
Oppervlakte is  50 • 10 - 1/2 • 20 • 10 = 400
De inhoud is dan 400 • 30 = 12000
Dat is  12000/39000 • 100% = 30,8%
       
9. Het afgeslepen deel is een kegel met inhoud  1/3 • (π • 12) • 2 = 2/3π
De rest is een cilinder met inhoud   (π • 12) • h  = πh
Dus  2/3π + πh = 25
πh = 22,9056
h = 7,3 cm = 73 mm

       
10. R is het midden van EF.
Dan kun je het lichaam L krijgen door van een kubus twee afgeknotte piramiden weg te halen. Eentje daarvan is hiernaast rood getekend: PRQ.BFG.
De andere is  PRQ.AEH.

Inhoud PRQ.BFG = PRQ.AEH - E.BFG
= (1/3)•(1/2)•6•6•6 - (1/3)•(1/2)•3•3•3 = 31,5

De inhoud van L is dus  6•6•6 - 2•31,5 = 153

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)