Rijen met de GR.

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een voordeel van recursievergelijkingen is dat ze vaak erg eenvoudig zijn. Maar ze hebben ook een groot nadeel. Dat is dat je niet z๓maar een getal uit de rij kunt uitrekenen; dat kan pas als je alle vorige getallen ook eerst uitrekent.
Dat kan nogal een werk zijn.....
Gelukkig springt daar onze TI-83 ons te hulp. Die heeft een manier om te rekenen met recursievergelijkingen, en dat gaat als volgt:
Druk op  MODE  en zet de vierde regel op Seq
Druk op  Y=   en je ziet het scherm hiernaast.
Om nu een rij un in je rekenmachine te zetten moet je drie dingen invoeren:

 

•   nMin.
    Daar moet staan welk nummer het eerste getal van je rij heeft. Dat zal dus meestal nummer 0 of nummer 1 zijn.
•   u(n) =
    Daar voer je je recursievergelijking in. De n is nu de knop   X,T,q,n   geworden en de u vind je bij SHIFT -  7
•   u(nMin) =
    Daar komt te staan hoe groot het eerste getal van je rij is.
 
Laten we onze torens-van-Hanoi-rij gaan invoeren.
Die zag er z๓ uit:    1 - 3 - 7 - 15 - 31 - ..... 
En de recursieformule was  un = 2 • un -1 + 1
Als we het eerste getal uit de rij nummer 1 noemen (een toren van 1 schijf) dan moet je dus invoeren:
    •  nMin = 1
    •  u(n) = 2 * u(n - 1) + 1
    •  u(nMin) = 1
zoals hiernaast is gedaan.

 
Kijk nu bij TABLE en je krijgt de rij getallen in beeld.
(als je een andere tabel krijgt kun je die uiteraard met TBLSET aanpassen)
u0 is er uiteraard niet, want onze rij begon immers bij  nMin = 1
Verder staan daar inderdaad de getallen uit deze rij. Mooi. Dat klopt.

Er is een legende over een Vietnamese tempel waar priesters dag in dag uit bezig zijn zo'n toren van 64 gouden schijven op deze manier te verplaatsen. En als dat werk volbracht is, dan is dat het einde van onze wereld!!!!
Nou, laten we dat dan maar gauw uitrekenen!

Bereken met behulp van jouw tabel hoe lang deze priesters bezig zullen zijn als ze ้้n schijf per seconde verplaatsen. (het gaat wat sneller als je met TBLSET het begin van je tabel op Tblstart = 64 zet).
Vergelijk de gevonden tijd met de leeftijd van onze aarde (ongeveer 4,5 • 109 jaar) en kijk of we ons al zorgen moeten gaan maken.......
         
Er is ook een manier om een rij in de mode Func van je GR direct te krijgen, maar die is niet zo heel belangrijk. Als het er meer over wilt weten moet je deze les van de GR doornemen.
         
Meerdere rijen in voeren.
         
Net als bij u(n) kun je ook tegelijk rijen bij  v(n)  en  w(n) invoeren, maar ze moeten wel met hetzelfde nummer beginnen. Daarom kun je alleen nMin in het begin invoeren voor alle rijen tegelijk.

Wat heb je daaraan?

Dat kun je gebruiken om
 
• rijen met elkaar te vergelijken
• rijen van elkaar af te laten hangen.
• de som van een rij getallen uit te rekenen.

Vooruit dan maar;  van alle drie een voorbeeldje:

Voorbeeld 1.
Jan begint met een maandsalaris van €600  en krijgt elk jaar  eerst een opslag van 6% en daarna nog eens €50,-
Kees begint met een maandsalaris van  €1000 en krijgt elk jaar eerst een opslag van  4% en daarna nog eens  €60,-
Wanneer verdient Jan meer dan Kees?

nMin = 0
u(n) = 1,06 * u(n - 1) + 50
u(nMin) = 600
v(n) = 1,04 * v(n - 1) + 60
v(nMin) = 1000
Kijk wanneer u(n)  groter is dan  v(n).   Dat is vanaf  n = 23  

Voorbeeld 2.
Natasja en  Kim gaan om de beurt getallen noemen.
Kim noemt steeds het vorige getal van Natasja, maar vermenigvuldigd met 5 en daarna 3 er afgetrokken.
Natasja noemt steeds het vorige getal van Kim, maar dan vermenigvuldigd met 2 en daarna 1 er bij opgeteld.
Natasja begint met het getal 12, dus Kim zegt daarna 57, en Natasja daarna 115
Wat is het tiende getal dat Natasja noemt?

nMin = 1
u(n) =  v(n - 1) • 5 - 3    (de getallen van Natasja)
u(nMin) = 12
v(n) = u(n - 1) • 2 + 1   (de getallen van Kim)
v(nMin) = 57

TABLE:  u(10) = 2822222

Voorbeeld 3.
Bereken  √1 + √2 + √3 + ... + √100
Voer de rij un in  met    nMin = 1,  u(n) = √(n),  u(nMin) = 1
Als je nu daarna invoert de rij  vn  met  v(n) = v(n - 1) + u(n - 1)  met  v(nMin) = 0, dan staat daar eigenlijk dat v(n) gelijk is aan de vorige v plus √n (want dat is u).  Dus er wordt steeds weer √n opgeteld bij de vorige som.
Je vindt de som van de eerste 100 wortels dan in  v(101)
(het is trouwens ongeveer gelijk aan 671,46)
 

Denk erom dat achter het  = teken van de recursievergelijking
alleen termen met n - 1, n - 2, enz. mogen staan.
Er mag nooit een u(n) of v(n) aan de rechterkant van zo'n vergelijking staan!!
         
1. Gegeven is de rij getallen  un = √(3 + un - 1)   met  u1 = 400000
         
  a. Bereken  u9 van deze rij getallen in drie decimalen nauwkeurig.

68,723
       
  b. Onderzoek wat er zal gebeuren met un als je alsmaar doorgaat.

un ≈ 66,871
       
  c. Onderzoek met je GR of het resultaat van vraag b) afhangt van het begingetal u1

nee
         
  Er is een grappige manier om het getal van vraag b) en c) exact te berekenen.
  Click als je het leuk vindt dat te onderzoeken op de verdieping hiernaast.  
       
         
2. Gegeven is de recursievergelijking  un = 3,5 • un - 1 • (1 - un - 1)  met  u1 = 0,1
         
  a. Bereken  u25  in vier decimalen nauwkeurig.  

0,8295...
       
  b. Onderzoek hoe de rij verloopt.  Je moet ver genoeg in de rij gaan (tot ongeveer nummer 40) om te zien wat er op den duur gebeurt.
         
3. Bij een antibioticakuur moet een pati๋nt eerst (op dag 0)  een tablet van 200 mg innemen en daarna om de 24 uur weer een nieuwe tablet van 200 mg. Het lichaam breekt elke 24 uur echter ook 30% van de hoeveelheid medicijn in het bloed af.
         
  a. Geef een recursievergelijking die de hoeveelheid medicijn in het lichaam om de 24 uur weergeeft direct na het innemen van een tablet.
         
  Het medicijn werkt pas goed als er minstens 600 mg in het lichaam aanwezig is.
         
  b. Na hoeveel dagen is dat voor het eerst het geval?

6 dagen
         
  Echter als er meer dan 650 mg aanwezig is, dan heeft dat nadelige bijwerkingen.
         
  c. Onderzoek bij welke tabletgrootte elke 24 uur de grens van 650 mg niet wordt overschreden maar de grens van 600 mg wel wordt gehaald.

〈180, 195]
         
4. Bekijk de volgende rij breuken:   2/3,  5/7,   11/15,   23/31,  47/63, ....

Onderzoek met je GR of deze rij breuken uiteindelijk een constante waarde zal aannemen.
       

JA:  3/4
5. Gegeven is de rij  un+1 = n ื  un    met u1 = 1.
Bereken  u10 
Waar ken je deze rij getallen van?
         
Tweede-orde vergelijkingen
Als un niet alleen van un-1 afhangt, maar ook van un - 2, dan kun je deze rij ook in je GR invoeren, maar dan moet je wel TWEE beginwaarden invoeren. Zo'n vergelijking heet dan een recursievergelijking van de tweede orde.
Dat doe je door bij  unMin  het tweede getal en het eerste uit de rij tussen te zetten, in die volgorde!!, gescheiden door een dikke komma  (die boven de 7 op je GR zit).
De beroemdste tweede-orde vergelijking die er bestaat is zonder twijfel de rij van Fibonacci:
 
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ....
 

Elk volgend getal vind je door de twee vorigen bij elkaar op te tellen, dus de recursievergelijking is  un = un - 1 + un - 2 en de twee begingetallen zijn {1, 1}
Hiernaast zie je hoe die rij in de GR is ingevoerd.


De Fibonacci-rij komt op allerlei plaatsen tevoorschijn. De bekendste is misschien wel het aantal konijnenparen		  
Een paar konijnen van een maand oud is nog te jong om zich te kunnen voortplanten. Maar vanaf de tweede maand krijgt het paar elke maand twee jongen, die zich op hun beurt na twee maanden eveneens gaan voortplanten met twee jongen per maand, enz. Dat geeft zoiets:
   

   
Die gekleurde konijnenparen zijn dus "nieuwelingen"die net geboren worden, alle grijze paren zijn gewoon konijnen die steeds ouder worden.
   
6. De Lucasrij heeft dezelfde recursievergelijking als de rij van Fibonacci, maar hij begint niet met 1 en 1 maar met 1 en 3.  Bereken het 40ste getal van de Lucasrij.
       

180510493
7. Gegeven is de recursievergelijking  un = 0,5un - 1 + 1,2un - 2   met  u0 = 2 en u1 = 3
         
  a. Bereken u30 in twee decimalen nauwkeurig.

21029,84
       
  b. Je kunt u0 eentje verhogen, maar ook u1.
Onderzoek welk van beide acties de grootste  u10 oplevert.		  
         
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008.

Drogisterijketen Haarsma verkoopt ‘Hagelwit’ tandpasta. Aan het eind van elke maand koopt Haarsma deze tandpasta in bij de groothandel. Haarsma moet daarvoor elke maand een schatting maken van het aantal tubes dat hij de volgende maand zal verkopen. In de bedrijfskunde worden verschillende methoden gebruikt om zo’n schatting te maken. Een van die methoden komt in deze opgave aan de orde. In zeker jaar heeft Haarsma in januari 5200 tubes verkocht en in februari 4000.
Een eenvoudig model om de verkoop voor de komende maanden te schatten is het volgende: neem het gemiddelde van de verkoop in de twee voorafgaande maanden. In een formule:

Vn + 2 = 1/2 • Vn + 1 + 1/2 • Vn,  met  V1 = 5200  en  V2 = 4000

Hierbij is Vn het aantal verkochte tubes tandpasta in maand n, waarbij n = 1 overeenkomt met januari.
Volgens dit model verwacht Haarsma in maart 4600 tubes te verkopen. Als we aannemen dat de schatting steeds de werkelijke verkoop in die maand is, kunnen we met dit model ook de verkoop van de volgende maanden uitrekenen. Dat betekent hier dat er in maart inderdaad 4600 tubes tandpasta verkocht worden. En met de getallen 4000 van februari en 4600 van maart kun je met de formule weer de verkoop van april berekenen, enzovoort.
         
  a. Bereken het aantal tubes tandpasta dat volgens dit model in juni wordt verkocht.
       

4375
 

Soms besluit men de laatste maand zwaarder te laten meetellen dan de voorlaatste maand. Bij de schatting voor de maand maart telt men bijvoorbeeld februari voor 60% mee en januari voor 40%. De formule wordt dan:

Vn+2 = 0,6Vn+1 + 0, 4Vn , met V1 = 5200 en V2 = 4000

Als met dit model een groot aantal maanden wordt doorgerekend, komen de waarden van V steeds dichter bij de evenwichtswaarde 4343 te liggen. Dat betekent dat na een aantal maanden de schattingen minder dan 1% van 4343 zullen afwijken.
         
  b. Bereken in welke maand de schatting voor het eerst minder dan 1% van 4343 afwijkt.
       

mei
         
9. Toen er nog geen rekenmachines waren, moesten wiskundigen zo af en toe de wortel uit een getal met pen en papier berekenen. Een goeie methode daarvoor was de volgende;

Stel dat je √n wilt berekenen:
• gok een begingetal B
• bereken n/B
• neem het gemiddelde van dit laatste getal en je vorige getal, en gebruik dat als nieuw begingetal B.

Zo geeft  √57 met de begingok B = 7:
B = 7  ⇒  57/7 = 8,1428...
(8,1428... + 7)/2 = 7,5714....
B = 7,5714...  ⇒  57/7,5714... = 7,5283....
(7,5283... + 7,5714...)/2 = 7,5498...
B = 7,5498...  ⇒  57/7,5498... = 7,549803...
enz.

Bereken de tiende benadering van √57 met je GR.
         
   

ฉ h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)