© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De tweede integraalstelling van Cauchy.
       
De eerste integraalstelling van Cauchy was die stelling over een kringintegraal in het complexe vlak, en die luidde als volgt:
       

       
Daarbij is de voorwaarde wel, dat f overal op het gebied analytisch is (en verder ook dat het gebied een beetje "normaal" is). Natuurlijk rijst bij de echte wiskundige nu meteen de vraag:  "Wat gebeurt er als f  NIET analytisch is?" . Dus bijvoorbeeld als f ergens niet bestaat? Hoe zit het dan met die kringintegraal?

Een eerste vingeroefening.
Het eenvoudigste geval van een functie die ergens niet bestaat is  f(z) = 1/z.  Die bestaat niet bij z = 0, en zo'n punt heet een singulier punt.
We gaan de kringintegraal van deze functie rondom het punt z = 0 toch berekenen, en dat doen we door als route een rondje om de eenheidscirkel te nemen.

Op die cirkel geldt  z = eiφ  dus  dz = ieiφdφ  en daarbij loopt φ  van  0 to 2π:

   
Nou, dat is duidelijk geen nul dus! Voor gebieden met singuliere punten is er een aanpassing aan de integraal van Cauchy nodig.
       
Het algemene geval.

Neem een functie f(z) die overal analytisch is. Dan maken we daar een singulier punt  s  in door een nieuwe functie f te bekijken, die gelijk is aan  f(z)/(z- s) . Zo'n punt heet een eerste-orde singulier punt  ( f(z)/(z- s)² zou een tweede-orde singulier punt zijn). Bekijk nu een kringintegraal rondom het punt  z =  s.

Die staat in de figuur linksonder. Zoals je ziet wordt C tegen de klok in doorlopen.
In de middelste figuur is C onderbroken bij punt B, en is een extra omweg rondom het singuliere punt S gemaakt. Dat geeft de nieuwe rode route.
Dat stuk AB wordt nu tweemaal doorlopen, maar in tegengestelde richtingen, dus netto geeft dat geen bijdrage! Daarom kunnen we dat net zo goed weglaten, en dat is rechts dan ook gebeurd.
       
       
       
In de middelste tekening wordt nu een gebied omlopen dat geen singuliere punten bevat (s ligt er nu buiten) dus de totale rode integraal is NUL (eerste integraalstelling van Cauchy).

Dus is ook de som van beide rode delen rechts nul.
Aha! Nu komen we ergens!!

De rode delen rechts bestaan uit een integraal langs buitenste route C plus een integraal om het cirkeltje, maar dan de andere kant op (met de klok mee). Die laatste is tegengesteld aan de integraal rond het cirkeltje de "goede kant" op (tegen de klok in)
Dus geldt :
  (integraal C) + (integraal cirkeltje verkeerd om) = 0
⇒  (integraal C) - (integraal cirkeltje) = 0
⇒  integraal C = integraal cirkeltje
       
Op het cirkeltje geldt   z = s + reiφ  dus  dz = ireiφdφ   (lijkt nogal op de vingeroefening hierboven): 

In die laatste integraal mag je r wel naar nul laten gaan, immers f(z) was een nette analytische functie.  De grootte van dat cirkeltje doet er niet toe. Als r → 0  dan gaat  s + reiφ → s  en dan kun je die f(s) wel buiten de integraal halen:

En daarmee is de tweede integraalstelling van Cauchy  een feit:
       

       
Die 2πif(s)  heet ook wel het residu van f(z), en daarom heet deze stelling ook wel de residustelling van Cauchy.
·  Als er meer singuliere punten binnen een route C liggen geeft elk singulier punt zo'n residu 2πif(s).
·  Als een route C meerdere rondjes rondom een punt s draait geeft elk rondje een residu 2πif(s).
       
Even adempauze:   een makkelijk voorbeeldje.
       

Je kunt de noemer schrijven als  z2 + 1 = (z - i)(z + i).  Laten we proberen met breuksplitsen dit uit elkaar te halen.

Dat geeft  A + B = 3  en  iA - iB = 5
Eenvoudig op te lossen:  A = 11/2 - 21/2i  en  B = 11/2 + 21/2i
z = i  heeft als residu  A =  11/2 - 21/2i  en  z = -i   heeft als residu  B =  11/2 + 21/2i 
Beide singuliere punten  liggen binnen de cirkel C, dus moeten meetellen bij de som van de residuen.
Dan is de integraal gelijk aan  2πi · ( 11/2 - 21/2i  + 11/2 + 21/2i ) = 6πi
       
Ietsje lastiger voorbeeldje:

   
Voeg de reële as van -4 tot 4 toe aan C, dan heb je een gesloten vlakdeel.
De functie heeft singuliere punten bij z = i en z = -i
Breuksplitsen geeft  f(z) = 1/(z + i) + 1/(z - i) 
Allen het punt z = i  bevindt zich binnen het gebied, en dat geeft residu  2πi · 1 = 2πi

Splits de integraal in twee delen:  via de halve cirkel en via de reële x-as:

De gevraagde integraal is dus gelijk aan 2πi.
       
       
  OPGAVEN
       
1. Gegeven is de functie:
 

  Die heeft singuliere punten  z = 2 en z = -1
       
  a. Neem voor C de cirkel  | z - i | = 4 hiernaast, en doorloop die tegen de klok in.

Bereken de integraal voor deze C.

       
  Je kunt de integratieroute hierboven ook splitsen in twee deelcirkels C1 en C2 zoals hiernaast is gebeurd.
(het zijn de cirkels   | z - 2 | = 1  en  | z + 1 | = 1, maar dat had je natuurlijk al lang gezien).

Als je route C1 neemt, en je stelt  g(z) = (sinπz + cosπz)/(z - 2)  dan kun je die integraal weer berekenen met de residustelling, deze keer voor de functie g, immers dan is de integrand  g(z)/(z + 1) geworden.

     
  b. Bereken op deze slimme manier de som van de beide integralen over de cirkels C1 en C2.
       
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)