h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Redeneren met functies.
       
Af en toe is het wel handig als je aan een formule zo op het eerste gezicht al kunt zien wat de eigenschappen zijn, zonder verder berekeningen te maken.

Kan dat dan?????

Jazeker, Dat kan!!!     ...... nou ja.... ehmmm.... soms......

Meestal is het gewoon een beetje logisch redeneren.
Voordat we daaraan beginnen wil ik eerst even een paar kleine stellingen aan je voorleggen waarvaan ik hoop dat je het er mee eens bent. Vast wel, want ze zijn behoorlijk eenvoudig.
Die gaan we dan daarna steeds weer en weer en weer gebruiken.
       

1:    "Als je ergens meer vanaf haalt, dan wordt het antwoord minder"

       
Om iets preciezer te formuleren:  "Als je ergens een groter positief getal van aftrekt, dan geeft dat een kleiner resultaat".
       
2:   "Als je door een groter getal deelt, dan wordt het antwoord kleiner"
       
Dus als de noemer van een breuk groter wordt, en de teller blijft gelijk, dan wordt de hele breuk kleiner. Met "groter" en "kleiner" bedoel ik hier  "Verder naar rechts op de getallenlijn  (= groter) "  en  "Verder naar links op de getallenlijn (= kleiner)".
Dus is bijvoorbeeld  -30  kleiner dan -12.  En dus volgens de stelling is de breuk  1/-30  groter dan 1/-12. en dat klopt ook want die eerste ligt verder naar rechts op de getallenlijn (dichter bij nul) dan die tweede.

En andersom geldt hetzelfde:  als de teller toeneemt en de noemer blijft gelijk, dan neemt de hele breuk toe.
       

3:    "Een kwadraat en een wortel zijn altijd positief "

       
Dat een kwadraat altijd positief is, is logisch, want een getal met zichzelf vermenigvuldigd kan nooit iets negatiefs geven  (min min = plus). Dat een wortel altijd positief is, is eigenlijk gewoon een afspraak tussen wiskundigen.
       
4:   "Als een getal toeneemt, dan neemt het tegengestelde ervan af"
       
Ik hoop dat je dit zo logisch vindt dat ik het niet verder hoef uit te leggen.....

Nou met deze vier regels kun je al een boel beredeneren over grafieken van functies. Vooral wat betreft het dalen of stijgen van een grafiek.
Begin in zulke gevallen je redenatie altijd met  "Stel dat x groter wordt...."  en kijk dan wat er met de formule gebeurt.

Paar voorbeeldjes dan maar?

Voorbeeld 1.   Beredeneer dat de grafiek van   y = -2/(4 - x)   overal daalt.
Stel dat x toeneemt....
dan neemt  4 - x af  (stelling 1: wat je eraf haalt wordt groter)
dan neemt  2/(4 - x) toe  (stelling 2:  de noemer neemt af, dus de breuk neemt toe)
dan neemt  -2/(4 - x) af  (stelling 4).
Dus als x toeneemt, dan neemt y af........  Dat betekent dat de grafiek daalt!!!

Voorbeeld 2.  Beredeneer dat de grafiek van    y5/x  - 2x  overal daalt.
Stel dat x toeneemt.......
  dan neemt 5/x af  (stelling 2)
  dan neemt 2x toe.
  5/x neemt af, en er gaat ook nog een groter getal (2x)  van af, dus het totaal zal zeker ook afnemen.
Dus als x toeneemt, dan neemt y af.....Dat betekent dat de grafiek daalt!!!

Voorbeeld 3.  Beredeneer waarom de grafiek van   -4/(1 + x)  overal onder de x-as ligt.
x2 is altijd groter of gelijk aan nul, dus 1 + x2 is altijd positief  (groter of gelijk aan 1)
van deze breuk is de noemer altijd positief en de teller altijd negatief.
Dus de hele breuk is ook negatief.
Als y altijd negatief is, dan ligt de grafiek in zijn geheel onder de x-as.

       
Speciale gevallen.
       
Een paar gevallen van functies die alleen maar stijgen of alleen maar dalen zijn handig om paraat te hebben. 
Ofwel:  gewoon uit je hoofd leren!
Dat zijn de volgende drie gevallen:
       
gx   is stijgend voor  > 1  en dalend voor  0 <  g < 1
glogx  is stijgend voor  g  > 1 en dalend voor  0 < g < 1
xn  is stijgend voor n = 3, 5, 7, ...
       

Voorbeeld 4.  Beredeneer dat de volgende grafiek overal daalt:

 

   

Stel dat x toeneemt.......

Dan neemt 0,8x  af  want  gx  is dalend voor  0 < g < 1    
Dan neemt 4 - 0,8x  toe immers er wordt een kleiner getal van 4 afgetrokken.
Dan neemt de hele breuk af, want de teller is constant en de noemer neemt toe.
Dus als x toeneemt, dan neemt y af.....Dat betekent dat de grafiek daalt!!!
       
       
       
  OPGAVEN
       
1. Beredeneer van de volgende functies of ze overal stijgen of overal dalen, of dat je dat niet zeker kunt weten.
       
  a.

       
  b.

       
  c.

       
  d.

       
2. Beredeneer van de volgende functies of ze overal stijgen of overal dalen, of dat je dat niet zeker kunt weten.
       
  a.

       
  b.

       
  c.

       
  d.

       
     
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)