© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Pythagoras in de Eenheidscirkel.
Hiernaast staan in een eenheidscirkel voor drie hoeken α, β en γ de waarden van de bijbehorende sinus en de cosinus aangegeven.

Daar valt iets aan op......

Het zijn steeds zijden in een rechthoekige driehoek. En verder is de schuine zijde van die driehoek steeds gelijk aan 1 (de straal van de eenheidscirkel).
Als je zegt:  "rechthoekige driehoek" dan zegt elke wiskundige direct "Pythagoras". En als je naar de driehoeken hiernaast kijkt zie je dat de stelling van Pythagoras in deze driehoeken steeds het zelfde resultaat heeft:

(sinx)2 + (cosx)2 = 1

Notatieafspraak
Om veel haakjes te voorkomen schrijven  we voortaan  (sinx)2  als  sin2x en   (cosx)2 als cos2x
Dan wordt de stelling van Pythagoras in de eenheidscirkel:
sin2x + cos2x = 1
1. a. Van een hoek α is  sinα = 2/3.  Bereken de exacte waarde van  cosα.
1/3√5, -1/3√5
b. Van een hoek α is  cosα = 1/5.  Bereken de exacte waarde van  tanα
2√6, -2√6
2.
a.   Toon aan dat geldt     (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx.
 
b.   Toon aan dat geldt:  cos4α - sin4α = 1 - 2sin2α.
   
c.   Toon aan dat geldt:  sin4x - cos4x + cos2x = sin2x
   
Toepassing in vergelijkingen.
Deze Pythagoras-vorm kun je handig gebruiken als in een opgave staat cos2x of sin2x en je wilt dat graag veranderen in sinx of cosx, zoals in het volgende voorbeeld.
Voorbeeld:   Los op in [0, 2π]:   sin(x) = 2cos2x - 1
sin2 x + cos2 x = 1  geeft  cos2x = 1 - sin2x  dus kun je die cos2x vervangen:
sin(x) = 2(1 - sin2 x) - 1
⇒  2sin2x + sinx - 1 = 0
Als je nu sinx = p stelt, dan staat er  2p2 + p  - 1 = 0  en dat geeft met de ABC-formule  p = 1/2 p = -1
⇒  sinx = 1/2  ∨  sinx = -1
⇒  x = 1/6π + k • 2π  ∨  x = π - 1/6π + k • 2π  ∨  x = 11/2π + k • 2π
Dat geeft de oplossingen  x = 1/6πx = 5/6πx = 11/2π.
3. Los algebraïsch op  in [0, 2π], geef je antwoord in twee decimalen:
       
a. sinα = 2cos2α

0,90 of 2,25

b. cosα + sin2α = -0,19.

2.35 of 3.94

  c. 2sin2α + 4cos2α = 3.

0,79 of 2,36 of 3,93 of 5,50

       
   
4. a. Los op in [0, 2π]:     -2cosx + √(2 + 4cosx) = 1   
     

1/3π, 2/3π, 11/3π, 12/3π

  b. Los op in [0, 2π]:    3 - 3sinx + 2cos2x = 0  
     

  1/2π 

       
5. Van de vergelijking  sin2x + acosx - 2 = 0  op interval [0, 2π]   is  x = 1/3π  een oplossing
Bereken algebraïsch de andere oplossing(en) van deze vergelijking.
     

  5/3π 

       
6. Bereken algebraïsch:  cos20º + cos22º + cos24º + ... + cos290º
     

  46 

       
7. Voor een hoek tussen 0 en 0,5π  geldt:  sinα + 1 = 2cosα
Bereken algebraïsch hoe groot sinα is.
     

  -3/5 

       
8. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2010

Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren. Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.

In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O. De grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . Zie de volgende figuur.

       
 

       
  We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit. De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , waarbij 0 ≤ απ . Er geldt:  l = 10cos(1/2α)  en  b = 6sin(1/2α)
       
  a. Toon aan dat de formules voor l en b juist zijn.
       
 
       
  b. Toon aan dat de formule voor OQ juist is.
     

  Het model van de onderzetter kan zodanig gescharnierd worden dat zes van de acht buitenste scharnierpunten op één cirkel met middelpunt O liggen. Zie de figuur hiernaast.

 

     
  c. Bereken voor welke waarde van α dit het geval is. Rond je antwoord af op twee decimalen.
   

  1,98 

       
9. Gegeven zijn op interval [0, 2π] de functies:   fp(x) = 1 - p • cos2x    en   g(x) = sinx
       
  a. Los op  f2(x) < g(x) 

0, 1/2π
1/2π, 11/6π  15/6π, 2π

     
  b. De lijn y = a  snijdt de grafiek van f5 voor  0 < x < π in de punten A en B.
Bereken a als de oppervlakte van driehoek  OAB gelijk is aan  π/6 a
     

a = -0,25

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)