© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. sinα = 2/3
sin2α = 4/9
cos2α = 1 - 4/9 = 5/9
cosα = ±√(5/9) = ±1/3√5
       
  b. cosα = 1/5
cos2α = 1/25
sin2α = 1 - 1/25 = 24/25
sinα = ±√(24/25) = ±1/5√24
tanα = sinα/cosα = ±0,2√24/0,2 = ±√24 = ±2√6
       
2. a. (sinx + cosx)2
= (sinx + cosx)(sinx + cosx)
= sin2x + sinxcosx + sinxcosx + cos2x
= sin2x + cos2x + 2sinxcosx
= 1 + 2sinxcosx
       
  b. cos4α - sin4α       (is een merkwaardig product: a2 - b2 = (a - b)(a + b) )
= (cos2α - sin2α)(cos2α + sin2α)
= cos2α - sin2α
= 1 - sin2α - sin2α
= 1 - 2sin2α.
       
  c. sin4x - cos4x + cos2x
= (met het resultaat van de vorige vraag) = 2sin2x - 1 + cos2x
= 2sin2x - 1 + 1 - sin2x
= sin2x
       
3. a. 3sinα = 2cos2α
3sinα = 2(1 - sin2α)
3sinα = 2 - 2sin2α   noem nu  sinα = p
2p2 +3p - 2 = 0
ABC-formule:   p = (-3±√(9+16))/4 = (-3±5)/4 = -2  of  1/2
sina = -2 kan niet. Dus blijft over sina = 1/2
α = 1/6π + k2π  ∨  α = π - 1/6π + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {1/6π, 5/6π}
       
  b. cosα + sin2α = -0,19
cosα + 1 - cos2α = -0,19  noem nu cosα = p
0 = p2 - p - 1,19
ABC-formule:  p = (1 ±√(1+8))/2 = (1 ± 2,4)/2 = 1,7  of  -0,7
cosα = 1,7 kan niet. Dus blijft over cosα = -0,7
α = cos-1-0,7 = 2,35 + k2π  ∨   α = 2π -  2,35 = 3,94 + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {2.35,  3.94}
       
  c. 2sin2α + 4cos2α = 3
2(1 - cos2α) + 4cos2α = 3
2 - 2cos2α + 4cos2α = 3
2 + 2cos2α = 3
2cos2α = 1
cos2α = 1/2
cosα = √(1/2) ∨  cosα = -√(1/2)
α = 1/4π + k2π  ∨ α = 2π - 1/4π + k2π  ∨  α = 3/4π + k2π  ∨  α = 2π - 3/4π + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {1/4π, 3/4π, 11/4π, 13/4π}
       
4. a. -2cosx + √(2 + 4cosx) = 1 
√(2 + 4cosx) = 1 + 2cosx
2 + 4cosx = (1 + 2cosx)2 
2 + 4cosx = 1 + 4cosx + 4cos2x
1 = 4cos2x
cos2x = 1/4
cosx = 1/2  ∨  cosx = -1/2
x = 1/3π + k2π ∨  x = 2π - 1/3π + k2π  ∨  x = 2/3π + k2π ∨  x = 2π - 2/3π + k2π
In interval [0, 2π] geeft dat de oplossingen  {1/3π, 2/3π, 11/3π, 12/3π}
       
  b. 3 - 3sinx + 2cos2x = 0
3 - 3sinx + 2(1 - sin2x) = 0
3 - 3sinx + 2 - 2sin2x = 0   noem nu sinx = p
-2p2 - 3p + 5 = 0
ABC-formule:  p = (3 ±√(9+40))/-4 = (3±7)/-4 = 1  of  -21/2
sinx = -21/2 kan niet, dus blijft over sinx = 1
Dan is x = 1/2π
       
5. sin2(1/3π) + acos(1/3π) - 2 = 0
(1/2√3)2 + a • 1/2 - 2 = 0
3/4 + 1/2a - 2 = 0
1/2a = 11/4
a = 21/2

sin2x + 21/2 • cosx - 2 = 0
1 - cos2x + 21/2 • cosx - 2 = 0  noem nu cosx = p
1 - p2 + 21/2p - 2 = 0
p2  - 21/2p + 1 = 0
(p - 1/2)(p - 2) = 0
p = 1/2   ∨   p = 2
cosx = 2 kan niet, dus blijft over cosx = 1/2
Dat geeft behalve x = 1/3π  ook de oplossing x = 12/3π.
       
6. cos20º + cos22º + cos24º + ... + cos290º
= cos20º + cos22º + .... + cos244º  + cos246º + cos248º + ... + cos290º
maar  sinx = cos(90 - x)
Dus staat er:
cos20º + cos22º + .... + cos244º  + sin244º + sin242º + ... + sin20º
= (cos20º + sin20º)  +  (cos22º + sin22º) + ... + (cos244º + sin244º)
= 1 + 1 + ... + 1
= 23
       
7. sinα + 1 = 2cosα
(sinα + 1)2 = 4cos2α
sin2α + 2sinα + 1 = 4(1 - sin2α)
sin2α + 2sinα + 1 = 4 - 4sin2α
5sin2α + 2sinα - 3 = 0
ABC-formule:  sinα = (-2 ±√(4 + 60))/10 = (-2 ± 8)/10 = 0,6  of  -1
Controleren vanwege het kwadrateren:

sinα = -1 ⇒  α = 11/2π ⇒  cosα = 0 en invullen geeft dan  -1 + 1 = 2 • 0  klopt!
sinα = 0,6 ⇒ sin2α = 0,36 ⇒ cos2α = 0,64 ⇒  cosα = ±0,8  
en invullen geeft dan  0,6 + 1 = 2 • 0,8  klopt ook voor cosα = 0,8 
       
8. a. Bekijk één zo'n ruit (zie hiernaast)
cos(1/2α) = AB/1 = AB
sin(1/2α) = BC/1 = BC

l  is  10 • AB = 10 • cos(1/2α)
b is  6 • BC = 6 •  sin(1/2α)
       
  b. Bekijk driehoek OPQ.  Noem het midden van OP punt M
Dan is OM = 1/2l = 2cos(1/2α)  en   QM = 1/2b = 3sin(1/2α)
Pythagoras:    OQ = √(QM2 + OM2) = √(9sin2(1/2α) + 4cos2(1/2α))
=  √(5sin2(1/2α) + 4sin2(1/2α) + 4cos2(1/2α))  =  √(5sin2(1/2α) + 4)   (het blauwe deel is 4)
       
  c. Als de punten op een cirkel liggen moet gelden dat  OP = OQ
5cos(1/2α) = √(5sin2(1/2α) + 4)

twee methoden:
1.  met de GR>  Voer in  Y1 = 5cos(1/2α) en  Y2 = √(5sin2(1/2α) + 4)
    intersect levert  α = 1,98.

2. Algebraïsch:
   kwadrateren:  25cos2(1/2α)  = 5sin2(1/2α) + 4
   25cos2(1/2α) = 5(1 - cos2(1/2α)) + 4 ⇒   25cos2(1/2α) = 9 - 5cos2(1/2α)
   30cos2(1/2α) = 9 ⇒  cos2(1/2α) = 9/30 ⇒ cos(1/2α) = √(9/30)  (alleen de positieve want  0 < α < π)
   1/2α = 0,9911  ⇒  α = 1,9823 
       
9. a. 1 -  2 • cos2x = sinx
1 - 2(1 - sin2x) = sinx
1 - 2 + 2sin2x = sinx
2sin2x - sinx - 1 = 0   noem sinx = p
ABC-formule:   p = (1 ±√(1 + 8))/4 = (1 ± 3)/4  = -1/2  of 1
sinx = -1/2  ∨  sinx = 1
x =  -1/6π + k2π  ∨  x = π - - 1/6π + k2π  ∨  x = 1/2π + k2π
In [0, 2π] geeft dat de oplossingen {1/2π, 11/6π, 15/6π}

Zie hiernaast:
f < g geldt voor  〈0, 1/2π〉 en  〈1/2π, 11/6π〉  en  〈15/6π, 2π〉
       
  b. Zie de figuur hiernaast.
De hoogte van de driehoek is a en de basis is AB.
Als de oppervlakte gelijk is aan  π/6 • a  dan is dus AB = π/3 

Stel  xA = p  dan is dus  xB = p + 1/3π
Dan geldt  dat die twee dezelfde y-waarde moeten opleveren.
1- 5cos2p = 1 - 5cos2(p + 1/3π)
cos2p = cos2(p + 1/3π)
cosp = cos(p + 1/3π) ∨  cosp = -cos(p + 1/3π)
cosp = cos(p + 1/3π) ∨  cosp = cos(π - (p + 1/3π))
    p = p + 1/3π   ∨     p = 2π - (p + 1/3π)   ∨     p = 2/3π - p   ∨    p = 2π - (2/3π - p)
2p = 12/3π ∨  2p = 2/3π 
p = 5/6π ∨  p = 1/3π
De kleinste mogelijkheid is p = 1/3π
Dan is a = 1 - 5cos2(1/3π) = 1 - 5 • (1/2)2 = 1 - 5/4 = -1/4
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)