h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek I, propositie 35.
       

Parallellogrammen met dezelfde bases, en tussen dezelfde evenwijdige lijnen,
hebben dezelfde oppervlakte.

       
Omdat ABCD een parallellogram is,
is AB = CD
Omdat ABFE een parallellogram is,
is AB = EF
Dus geldt ook CD = EF

Dan is CE = DF  (DE is gemeenschappelijk)
De rode hoeken zijn gelijk  (F-hoeken) (I-29)
CA = DB  (I-34)
Driehoek ECA is congruent met driehoek DFB (ZHZ)  (I-4)

Trek nu DGE van beiden af, en voeg GBC aan beiden toe.
Dan heb je twee gelijke parallellogrammen.
       
 
       
Muggenzifterij.
Euclides behandelt alleen het geval waarin AE en BD elkaar snijden, als punt D tussen C en E ligt.
Als dat niet zo is, is het bewijs nog eenvoudiger want dan hoeven die gelijke driehoeken er aan het eind niet bij en af.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)