h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek IV, propositie 4.
       

Teken de ingeschreven cirkel van een driehoek.

       
Teken twee bissectrices van hoeken van de driehoek. (I-9)
Die snijden elkaar in M.
Teken vanuit M loodlijnen op de zijden van de driehoek; MP, MQ en MR.  (I-12)

De driehoeken AMQ en AMR zijn congruent (HHZ) (I-26)
Dus MR = MQ

Om dezelfde reden is MQ = MP

Dus MQ = MP = MR dus er is een cirkel met middelpunt M die door P, Q en R gaat.

Omdat de zijden van de driehoek loodrecht op MP, MQ en MR staan raken zij die cirkel. (gevolg van (III-16))

Dus de cirkel is de ingeschreven cirkel van de driehoek.

       
 
       
Muggenzifterij:  
  Euclides mist het bewijs dat de derde bissectrice ook door het snijpunt van de eerste twee gaat.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)