h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 36.
       

Teken van een punt buiten een cirkel een raaklijn r aan de cirkel en een lijn l die de cirkel snijdt,
dan geldt:
(hele snijlijn deel van snijlijn buiten de cirkel)  = raaklijn2

       
In de figuur hiernaast betekent dat, dat BP PA = PR2



 

       
Stel eerst dat PB door het middelpunt M van de cirkel gaat.
Teken MR
Dan staat MR loodrecht op PR  (III-18)

AB is in M doormidden gedeeld, en AP is toegevoegd, dus dan geldt  AB AP + AM2 = MP2   (II-6)

Maar omdat AM = RM geldt:   BP PA + RM2 = MP2
MP2 = RM2 + RP2  (Pythagoras)  (I-47)
Dus   BP PA + RM2 =  RM2 + RP2 
Trek van beiden RM2 af en je hebt de gezochte bewering.

       
Stel nu dat PB niet door het middelpunt M gaat.
Teken MC loodrecht op AB, dan is C het midden van AB  (III-3)

AB wordt doormidden gedeeld in C, en PA is eraan toegevoegd, dus dan geldt  BP PA + CA2  = CP2  (II-6)

Tel bij beiden  MC2 op: 
BP PA + CA2 + MC2 = CP2 + MC2 

Maar MC2 + CA2 = MA2  (Pythagoras) (I-47)
En ook  CP2 + MC2 = MP2  (Pythagoras) (I-47)

Dus BP PA + MA2 = MP2 

MR = MA  (straal cirkel)  dus  BP AP + MR2 = MP2 
Trek van beiden MR2 af:
BP AP = MP2 - MR2 = RP2     (Pythagoras) (I-47)

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)