h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek III, propositie 20.
       

De middelpuntshoek van een boog is het dubbele van de omtrekshoek.

       
Neem boog AB.
Dan zegt de propositie dat hoek BMA het dubbele is van hoek BPA.

       
Verleng PM tot PC.
MP = BP dus de gele hoeken zijn gelijk  (basishoeken)  (I-5)
MP = MA dus de groene hoeken zijn gelijk  (basishoeken)  (I-5)

Hoek BMC is twee gele hoeken  (buitenhoek driehoek PMB) (I-32)
Hoek AMC is twee groene hoeken (buitenhoek driehoek PMA)  (I-32)

BMA is twee gele en twee groene, dus het dubbele van BPA
 

       
Neem een ander punt P zodat M buiten driehoek ABP ligt.
Op dezelfde manier als hierboven is de dubbele groene hoek de buitenhoek van MPB en is de dubbele gele hoek de buitenhoek van MPA.

De omtrekshoek BPA is nu (groen - geel)
De middelpuntshoek BMA is (2 groen - 2 geel)  dus het dubbele.
 

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)