h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek II, propositie 14.
       

Je kunt bij een gegeven veelhoek een vierkant construeren dat even groot is.

       
Construeer eerst een rechthoek ABCD die even groot is
als de veelhoek  (I-45)

Als de zijden even groot zijn ben je klaar.
Noem bij ongelijke zijden de grootste zijde AB
Verleng AB tot AE  zodat  BE = BC  (I-3)
Noem het midden van AE punt M  (I-10)
Teken de cirkel met middelpunt M en straal AM.    (D18)
Verleng BC tot F en teken MF.

AE is met M in twee gelijke delen verdeeld en met B in twee ongelijke delen, dus rechthoek AB bij BE plus het vierkant op BM is gelijk aan het vierkant op ME    (II-5)

Maar omdat MF = ME is dat ook gelijk aan het vierkant op MF.
rechthoek AB BE  + v(BM) = v(MF)

Maar v(BF) + v(BM) = v(MF)   (Pythagoras)  (I-47)
Dus  rechthoek AB BG + v(BM) = v(BF) + v(BM)

Trek van beiden v(BM) af:
rechthoek AB BE = v(BF)
Omdat BE = BC  is dus ook  rechthoek AB BC = v(BF)
       
Omdat rechthoek ABCD even groot is als de gegeven veelhoek, is het vierkant op BF dat ook.
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)