Periodieke grafieken

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Periodieke grafiek zijn grafieken die ehh, zeg maar, die ehhh... ehhh... Die dus periodiek zijn!
Dat betekent dat er een stukje grafiek is dat zich herhaalt....
dat steeds hetzelfde is...
dat repeteert...
waarvan kopien achter elkaar geplakt zijn...

Nou ja, je snapt het hopelijk wel.
Welk van de volgende vijf grafieken zijn periodiek?

Waarschijnlijk zul je hebben gezegd dat  B, C en E periodiek zijn en  A en D niet.
Dat komt omdat je bij B, C en E een "herhalend stukje"  kunt vinden.

(zeker weten doe je het nooit natuurlijk, want misschien herhaalt de grafiek zich pas over een grotere afstand. De grafieken A en E hierboven zijn zelfs grafieken van dezelfde formule, alleen bij E is er een groter horizontaal stuk van getekend!)
1.  Periode.

De periode van een periodieke grafiek is de breedte van het herhalende stukje.

Voor de drie periodieke grafieken hierboven is hiernaast de periode aangegeven. Zoals je ziet maakt het niet veel uit waar je die periode neemt. De pijlen van dezelfde kleur zijn even lang.
De meest voorkomende periodieke grafiek is een eenvoudige "Golfbeweging". Die ziet er z uit:

Bij zo'n grafiek zijn, behalve de periode,  nog twee andere begrippen van belang.
2.  Evenwichtslijn.

De evenwichtslijn, het woord zegt het eigenlijk al, is de lijn in het midden waaromheen de grafiek schommelt. Het is de blauwe lijn hiernaast.
3.  Amplitude.

De amplitude is de maximale afstand die de grafiek boven of onder de evenwichtslijn komt. Het is de groene afstand hiernaast.
OPGAVEN
   
1. Geef aan welke van onderstaande grafieken periodiek zijn. Als je denkt dat een grafiek periodiek is, geef dan de periode, de evenwichtslijn en de amplitude die erbij horen.

       
2. De waterhoogte in de haven van Harlingen varieert op een dag ten gevolge van de eb- en vloedbewegingen tussen de +110 cm en -160 cm NAP.  Op 6 april is het hoogwater om 11:00 uur en het eerstvolgende laagwater om 17:15 uur.
     
a. Geef de periode, de amplitude en de evenwichtslijn van deze periodieke beweging.
   

12:30 en 135 en -25

b. Wanneer zal het op 10 april voor het eerst hoogwater zijn?
     

2:30

       
3. Een slak zit op een draaiende platenspeler.
Een videocamera maakt er een filmpje van, en daarop zie je dat de horizontale afstand van de slak op het beeld als functie van de tijd een periodieke grafiek oplevert, met een periode, een amplitude en een evenwichtslijn.
       
 

       
  a. Welk van deze drie verandert als de platenspeler sneller gaat ronddraaien?
     

periode

  b. Welk van deze drie verandert als de slak naar het midden toe kruipt?
     

amplitude

  c. Welk van deze drie verandert als de platenspeler opzij wordt geschoven?
     

evenwichtslijn

  d. Welk van deze drie verandert als de platenspeler de andere kant op gaat draaien?
     

geen

4. Hieronder staat een grafiek van een Electro-Cardiogram (ECG). Dat geeft aan hoe een hart klopt.

Bereken hoe snel dit hart klopte (in slagen per minuut).

       
 

     

78 keer per min.

5. Op de band van een fiets zit een rode sticker in punt P. Als de fiets gaat rijden zal deze sticker een baan gaan beschrijven die periodiek is. De straal van het fietswiel is 28 cm.

     
a. Schets de grafiek van de baan van P en geef de periode in cm nauwkeurig
   

176

b. Welke invloed heeft de snelheid van de  fiets op deze grafiek?
   

geen

  c. Welke invloed heeft de grootte van het fietswiel op deze grafiek?
   

amplitude,
periode,
evenwichtslijn

   
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1986.

Op de zon komen plaatsen met een lagere temperatuur voor: de zogenaamde zonnevlekken. Het aantal zonnevlekken varieert met de tijd. Sinds ongeveer 1700 wordt het aantal zonnevlekken met grote regelmaat geteld. De globale grafiek van het aantal zonnevlekken sinds 1755 ziet er als volgt uit:
         
 

         
  De geleerden zijn het erover eens dat in het voorkomen van zonnevlekken een periodiek verschijnsel is waar te nemen. De hier getekende grafiek vertoont 20 perioden.
         
  a. Verklaar dat uit deze grafiek afgeleid kan worden dat de gemiddelde periode 11 jaar is.
         
  Sommige onderzoekers wijzen ook op het feit dat de cycli 1, 2, 3 en 4 grote overeenkomst vertonen met 17, 18, 19, en 20. Men vindt hierin een aanwijzing voor een tweede periode.
         
  b. Geef het aantal jaren van deze tweede periode aan.
         
  c. Op grond van de twee perioden die bij het verschijnsel zonnevlekken zijn waargenomen heeft men voorspellingen voor het aantal zonnevlekken in de rest van de eeuw gemaakt. In welk jaar zal voor het eerst na 1986 het aantal zonnevlekken een maximum bereiken? Hoe groot zal dat maximum ongeveer zijn?
         
7. Voor de  lichaamstemperatuur van een patint die griep heeft geldt de grafiek hieronder.
Daarin is T de temperatuur in C en t de tijd in uren met t = 0 het moment dat hij besmet raakt.
         
  a. Bepaal de periode van deze grafiek
       

3,5 uur

  b. Geef een vergelijking van de  evenwichtslijn
         
  c. Bereken na hoeveel uur de temperatuur voor het eerst boven de 40C zal komen als deze grafiek zo periodiek blijft.
       

112 uur

  Voor de eerste 3,5 uur geldt ongeveer de formule  T =  0,084t3 - 0,39t2 + 0,46t + 37
         
  d. Bereken hoeveel minuten de temperatuur gedurende de eerste twee uren boven de 37,1C is
       

71,5

 

         
8. De wekker hiernaast heet een uurwijzer met lengte 10 cm en een minutenwijzer met lengte  15 cm. 
Het draaipunt van de wijzers bevindt zich 18 cm boven de bodem. Op t = 0  is het precies 6 uur.

Als je een grafiek maakt van de hoogte van het uiteinde van de minutenwijzer boven de bodem uitgezet tegen de tijd, dan krijg je de grafiek hieronder.

         
 

         
  a. Geef de periode, de amplitude en de evenwichtslijn van deze grafiek.
         
  b.

Teken in deze figuur ook de grafiek van de hoogte van het uiteinde van de uurwijzer boven de bodem.

         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)