Nog meer perforaties.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     



staartdelingen

Even kort samengevat wat we tot nu toe over perforaties weten:
       

als een functiewaarde  0/0 oplevert zijn er twee mogelijkheden:

1.  verticale asymptoot.
2.  perforatie.

       
Om te kijken welk van beiden het geval is, moest je proberen het functievoorschrift anders te gaan schrijven. Dat "anders schrijven"  was eigenlijk altijd ontbinden in factoren.

Deze les gaan we wat moeilijkere gevallen bekijken.

Neem de volgende functie: 

       
Als je kijkt wat er uitkomt voor x = 1, dan vind je .....inderdaad:   0/0.

Dat betekent dus een perforatie of een verticale asymptoot.
De grafiek hiernaast doet ons vermoeden dat we te maken hebben met een perforatie.

Maar hoe bewijs je dat?

Het is nogal lastig om die teller en noemer anders te gaan schrijven.......

       
En toch kan dat.
Neem bijvoorbeeld de teller. Die wordt nul als x = 1.
Dat zou je op het idee kunnen brengen dat die teller misschien te schrijven is als  (x - 1) (.................)  want dat wordt ook nul als x = 1.
En dat is een prima idee!!!!
Er is zelfs een beroemde wiskundige stelling, de factorstelling, die zegt dat dat altijd mogelijk is!!!

Blijft het probleem:  hoe vind je op een beetje systematische manier wat daar op die stippeltjes moet staan?
En daarvoor schieten de staartdelingen ons te hulp.
Dus maak die staartdeling, en je weet wat er op die stippeltjes moet staan.
Voor de noemer geldt natuurlijk precies hetzelfde. Hier zijn beide staartdelingen:
       

       
Dat die beiden zo mooi op nul uitkomen is dus geen toeval! Dat zegt die factorstelling.
Dat betekent dus:
waarbij die laatste stap dus alleen geldt voor x ongelijk aan 1.
Als je bij deze laatste formule weer x = 1 invult dan komt er  geen 0/0 meer uit, maar "gewoon"  4/5.
Kortom de oorspronkelijke grafiek heeft een perforatie  (1, 4/5)
       
 
1. Onderzoek het gedrag van de volgende functies bij x = 2:
       
  a.

perforatie (2,-2/3)

       
  b.

asymptoot

       
  c.

perforatie (2, 3/8)

       
  d.

perforatie (2,0)

       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)