Perforaties (1).

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)


verticale asymptoten

Laten we met onze kennis van verticale asymptoten de volgende functie onderzoeken:

Wij als experts zien direct dat er voor x = 3 door nul wordt gedeeld en dat er dus bij x = 3 een verticale asymptoot zal zijn. Totdat we de grafiek gaan plotten.......
Die staat hiernaast en blijkt een rechte lijn te zijn!!!!

Hoezo asymptoot???
Wat is hier aan de hand?

Daarvoor gaan we even terug naar de vraag  "Waarom vonden we eigenlijk bij breuken steeds verticale asymptoten?"
Dat was zo, omdat we niet door nul mogen delen. 6 : 0 = ?  kan niet, want dan zoek je een getal waarvoor geldt  ? • 0 = 6 en dat bestaat niet. Maar daarop is één uitzondering: als er in plaats van 6 óók 0 staat!
0 : 0 = ?  en dat kan wel, want het is heel makkelijk een getal te vinden waarvoor ? • 0 = 0. ELK getal voldoet!!!
Conclusie:

Uit   0/0 kan van alles komen! We moeten het per geval onderzoeken.
In bovenstaande functie vind je voor x = 3 inderdaad  y = 0/0  en in dit geval lijkt daar, aan de grafiek te zien, bij x = 3 ongeveer -5 uit te komen.

HOE KOMEN WE DAAR ACHTER?

Dat kan door op een handige manier het functievoorschrift anders te schrijven. Meestal gaat dat door te ontbinden, Kijk maar:



Bij de laatste stap zijn teller en noemer gedeeld door (x - 3)  daarbij moeten we wel bedenken dat dat niet mag als (x - 3) nul is. De formule hierboven geldt dus voor elke x, behalve voor x = 3.
Conclusie:  de grafiek van f(x) is gelijk aan de grafiek van y = x - 8, behalve bij x = 3
Bij x = 3 heeft de grafiek van f(x) een gaatje (hij bestaat daar niet)

Conclusie:
De grafiek van  f(x) is voor elke x, behalve x = 3, gelijk aan de grafiek van y = x - 8. Alleen bij x = 3 heeft de grafiek van f(x) een gaatje, en die van y = x - 8 niet.

 


1.   Onderzoek of de grafieken van de volgende functies perforaties en/of verticale asymptoten hebben.
     

a.
b.
c.
d.
e.
2. a. Geef een functievoorschrift van een functie met een perforatie bij (3,6).
b. Geef een functievoorschrift van een functie met een perforatie bij x = 3 en een verticale asymptoot bij x = 4.
c. Geef een functievoorschrift van een horizontale lijn met een perforatie (3,4).
3. Gegeven zijn de functies:
     
  a. Er zijn drie waarden voor p waarvoor de grafiek van fp een perforatie heeft.  Welke waarden zijn dat?
   

-4, 0, 2

b. Voor welke waarden van p heeft de grafiek van fp géén verticale asymptoot?
   

p > 2,25

4. Gegeven zijn de functies:   

Voor welke p hebben de grafieken van  f en g  géén snijpunt?
     

p = 1

5. Geef een mogelijke vergelijking van een parabool met een perforatie in zijn top.
     

y = x3/x

       
6. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2015-I

Voor elke waarde van a wordt de functie fa gegeven door:
 

       
  De grafiek van f5 heeft een verticale asymptoot en een scheve asymptoot. De twee asymptoten snijden elkaar onder een hoek β met β in graden. In de figuur is de grafiek van f5 met de asymptoten en hoek β weergegeven.
       
 

       
  a. Bereken algebraïsch de waarde van β.
     

27º

  b. Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van fa een lijn met een perforatie is. Bereken exact, voor de grootste van die twee waarden van a, de coördinaten van de perforatie.
     

(2,3)

       
7. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2019-I
       
  Voor elke waarde van p is de functie fp gegeven door:   fp(x) = cosx/(p - sin2x)
Onderzoek of er waarden van
p zijn waarvoor de grafiek van fp perforaties heeft.
   
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)