© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Buigpunten van parameterkrommen.
       
Weet je het nog van "gewone" functies?
Een buigpunt kun je vinden op de plaats waar de tweede afgeleide  f ''  nul is en van teken wisselt, want dan gaat de grafiek van HOL naar BOL (of andersom)
Het grote probleem van vandaag is dus:
 

Hoe vind je de tweede afgeleide van een parameterkromme?

       
Een aanwijzing kun je vinden in de manier waarop je de eerste afgeleide van een parameterkromme kunt maken.
Noem die afgeleide voor het gemak even f ' (alhoewel er niet echt een functie f  bestaat), dan vond je de eerste afgeleide zó:
       
Nou, als je zo de afgeleide van "iets" vindt (in dit geval van y) dan kun je dezelfde methode ook wel gebruiken als dat "iets" niet y is, maar y' . Vervang daarom in bovenstaande formules gewoon elke y door y'.  Dat geeft:
Merk vooral op dat je niet gewoon van y(t) en van x(t) allebei de tweede afgeleide moet nemen (zoals je misschien had verwacht). Je moet eerst  dy/dx vinden (zoals je al kon)  en dan daarna die naar t differentiëren en dat delen door x'(t).
Netjes in formulevorm geeft dat:
 
       
Voorbeeld.
Eerst:     dy/dx = y'(t)/x'(t) = 2t/(8t3 - 3t2) = 2/(8t2 - 3t)
t = 1  geeft dan  een tweede afgeleide van   - 26/125 
In het punt (1, 1) loopt de grafiek dus BOL.
       
           
  OPGAVEN
           
1. Gegeven is een parameterkromme:  x(t) = 1/t + 1  en  y(t) = t2
Onderzoek of de grafiek van deze kromme voor t > 0  HOL of  BOL is.
           
2. Gegeven is de parameterkromme  x(t) = t  en  y(t) = t2 +2
Toon aan dat de tweede afgeleide in een punt gelijk is aan 12t.
           
3. Gegeven is de parameterkromme:  x(t) = t3   en y(t) = t2 + 2t
Onderzoek of deze kromme buigpunten heeft.
           
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)