De grafiek van  y = ax2 + bx + c

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

In deze les zullen we bestuderen wat de invloed van de getallen a, b en c is op de grafiek van y = ax2 + bx + c.

In de figuur hiernaast kun je zelf bekijken wat de invloed van a op de grafiek is. Verander de waarde van a met de schuif onder de grafiek en kijk maar wat er gebeurt....

Nou???  Wat doet die a??
1.  Het teken (+ of  - ) van a :

a bepaalt of het een dal-of een bergparabool is
+  is een dalparabool
-  is een bergparabool

2.  De grootte van a :

Hoe groter (positief of negatief) a is, des te steiler ("krommer") is de parabool.

Ok, nu we de invloed van a op de grafiek doorhebben gaan we naar c.
In de grafiek hiernaast kun je a n c beiden variren.
Nou???  Wat doet die c??

c verschuift de parabool omhoog of omlaag.

Tenslotte de invloed van b. Die is wat lastiger.
Probeer het wat uit met de grafiek hiernaast.
Tip:  let goed op de plaats van de top als b verandert.
Nou???  Wat doet die b met de top??

Als b verandert dan "wandelt" de top van de parabool over een andere parabool die het spiegelbeeld is van deze.

WAT HEBBEN WE HIER AAN?
Het is een manier om stap voor stap van de grafiek van een parabool de bijbehorende formule te vinden.
Als je intussen een beetje een "gevoel" voor wat a en b en c  voor een parabool betekenen hebt gekregen dan zul je het volgende wel een makkie vinden.
Laten we de a, b en c  stap voor stap langsgaan.
1.  a  bepaalt hoeveel keer zo steil de parabool is geworden.
Als je a = 1 neemt, dan heb je een "normale" parabool, die begint met y = x2 + .....
Als je bij deze parabool vanaf de top 1 vakje opzij gaat, dan moet je ook 1 omhoog. Bij 2 opzij ga je 4 omhoog, bij 3 opzij 9 omhoog, enzovoorts:  je gaat bij x opzij  x2 omhoog.

Dat zie je in de figuur hiernaast.
Denk er goed om dat dit geldt vanaf de top gerekend (NIET vanaf de oorsprong!!)

Als nu a bijvoorbeeld gelijk is aan 2, dan is deze afstand omhoog gewoon twee keer zo groot geworden. Immers de parabool is "twee keer zo steil" geworden?

Dat wil zeggen bij 2 opzij nu niet 4 omhoog maar 8 omhoog. En bij 4 opzij niet 16 omhoog, maar 32 omhoog!!!

Kortom: zoek vanaf de top een ander roosterpunt. Kijk hoeveel je opzij gaat, en bereken hoeveel omhoog dat bij een gewone (a = 1) parabool zou zijn. Vergelijk dat met de gemeten afstand omhoog en je weet hoeveel keer zo groot a is geworden.

  Als de parabool een bergparabool is, dan is a negatief, maar geldt hetzelfde verhaal precies zo!
  Als de parabool minder steil gaat lopen, dan zal a kleiner dan 1 zijn.

voorbeeld.
Van de parabool hiernaast lezen we behalve de top ook nog punt P af.
We zien dan dat je vanaf de top 6 opzij en 12 omhoog moet gaan om in P te komen.
Normaal is dat 6 opzij en 62 = 36 omhoog
Dus nu is dat maar 1/3 deel daarvan, daarom is a = 1/3

De formule zal beginnen met  y = 1/3x2 + .....

   
1.   Bepaal de waarde van a voor de volgende grafieken (een hokje is steeds een cm):

2.  c   bepaalt hoeveel de parabool omhoog of omlaag is geschoven
Als je dat eenmaal door hebt is c verrassend makkelijk te vinden. Als je je maar bedenkt dat de parabool zonder c, die van y = ax2 + bx  altijd door de oorsprong gaat.
Controleer dat maar door x = 0 te nemen!
Dus als we achter deze formule +c zetten dan zal de grafiek c omhoog schuiven en dus door (0, c) gaan.
Conclusie:
 c is de hoogte van het snijpunt met de y-as

Bij de grafiek hiernaast zal c zeker gelijk zijn aan 3.

(zie je trouwens ook dat a gelijk is aan 2?????)

2.  Bepaal de a en c voor de volgende grafieken:

3.  b bepaalt de plaats van de top.
De waarde van b is lastiger direct te vinden. b bepaalt de plaats van de top, want die loopt bij veranderende b over een parabool die het spiegelbeeld van deze is. Maar ja, de precieze plaats van de top hangt k van a af, want die bepaalt hoe steil de parabool, en dus ook zijn spiegelbeeld, loopt.
Als je a en c hebt, kun je b eigenlijk op twee manieren bepalen:

manier 1.  Vul gewoon een punt in.
Deze manier werkt eigenlijk altijd als we van een formule n constante nog moeten weten. We gebruikten hem vroeger ook al om de b van de lijn y = ax + b te vinden.
Voorbeeld:  stel dat we de parabool  y = 2x2 + bx + 3 hebben en we lezen af dat die door  (4, 11) moet gaan.
Invullen geeft  11 = 2 42 + b 4 + 3  ⇒  11 = 35 + 4b  ⇒  4b = -24  ⇒  b = - 6 dus de formule is  y = 2x2 - 6x + 3

manier 2.  De top ligt bij  x = -b/2a
Voor wie het erg graag wil weten staat het bewijs hiernaast.

Voorbeeld: de parabool  y = 2x2 + bx + 3  heeft de top  bij x = 3
Dan moet gelden  -b/(2 2) = 3  ⇒  -b = 12  ⇒  b = -12  dus het is  y = 2x2 - 12x + 3
3. Geef een vergelijking van de volgende parabolen:

4. (Examenvraagstuk)

Een elektriciteitskabel wordt opgehangen tussen palen die 30 meter hoog zijn en 300 meter van elkaar staan. Een technisch tekenaar wil met een computer een tekening maken van de hangende kabel. Daarbij neemt hij aan dat de vorm waarin de kabel tussen twee opeenvolgende palen hangt een parabool is. Dat is een redelijke benadering.
De tekenaar kiest voor een assenstelsel waarbij O op de grond in het midden tussen twee palen ligt en waarbij de x-as horizontaal is.

De vergelijking van de parabool heeft dan de gedaante:

y = a (0,01x)2 + c      (voor  -150 ≤ x ≤ 150)

a. Toon aan dat tussen a en c het volgende verband moet bestaan:  9a + 4c = 120
Er bestaan voorschriften voor het ophangen van elektriciteitskabels. En van de eisen is dat het laagste punt van de kabel tenminste 10 meter boven de grond moet hangen. Bovendien mag, in verband met de spankracht in de kabel, het laagste punt in de hier gegeven situatie zich niet meer dan 20 meter boven de grond bevinden
  b. Bereken welke waarden voor a zijn toegestaan, uitgaande van bovenstaande formules.
 

[44/9,  88/9]

 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)