Parabolen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Vroeger heb je geleerd dat een parabool de grafiek is van een functie  y = ax2 + bx + c. En dat is ook zo natuurlijk. Maar met deze formule beperk je je welk tot één speciaal soort parabolen, namelijk de parabolen die "rechtop staan" (dus waarvan de symmetrieas verticaal is). In deze les zullen we een andere afspraak maken over wat een parabool is, en daarmee ook andere soorten parabolen bekijken.
   
De conflictlijn van een lijn en een punt.  
   
Bekijk de lijn r en het punt F hiernaast.
We gaan nu alle punten P in het vlak tekenen waarvoor geldt dat de afstand van P tot punt F gelijk is aan de afstand van punt P tot lijn  r.

Hiernaast zie je voor twee punten P1 en P2 dat dat inderdaad (ongeveer) klopt.
De parabool is hier dus de conflictlijn van lijn r en punt F.

Punt F noemen we het brandpunt.
Lijn r noemen we de richtlijn.

De formule van een parabool.  
   
Laten we de top van de parabool zoals op de tekening hierboven, in de oorsprong leggen. Stel dat F het punt (c, 0) is, dan is r de lijn x = -c, immers de top moet even ver van beiden afliggen.
Stel vervolgens dat P het willekeurige punt (x, y) op de parabool is.
Wat valt er dan over x en y te zeggen?
   
d(P, F) = d(P, r)
((x - c)2 + y2 ) = c+ x
⇒ (x - c)2 + y2 = (c + x)2
x2 - 2cx + c2 + y2 = c2 + 2cx + x2
y2 = 4cx
   
Daarmee is de vergelijking van deze "plat liggende" parabool gevonden. Als c een positief getal is ligt de parabool vanaf de top naar rechts, zoals in de tekening hierboven. Als c negatief is, dan ligt de parabool naar links met het brandpunt aan de linkerkant van de y-as.
Natuurlijk kun je ook voor onze "gewone" parabolen van vroeger, die "rechtop"stonden, op deze manier een formule afleiden. Die afleiding gaat precies zoals hierboven en levert de vergelijking  x2 = 4cy op.  Dat zal je waarschijnlijk niet verbazen. Tegenwoordig laten we deze vergelijking mooi staan natuurlijk (vroeger zouden we er vast  y = 1/4c x2 van hebben gemaakt).
Alle vier de gevallen samengevat:
   

   
En natuurlijk kunnen we ook van parabolen die niet de top in de oorsprong hebben een formule opstellen. Dat gaat met dezelfde translaties die we al bij cirkels hebben gebruikt:
   

vervang  x door x - a   schuif de grafiek a naar rechts
vervang  y door y - a    schuif de grafiek a omhoog

   
Bij x + a en y + a wordt dat uiteraard naar links en omlaag.
Uiteraard moet je soms weer de techniek van het "kwadraat afsplitsen" gebruiken om de vergelijking in de juiste vorm te krijgen.
   
Voorbeeld.

Gegeven is de parabool  y2 - 4y - 6x - 20 = 0
Geef het brandpunt en de richtlijn en schets de parabool.

Oplossing:
 y2 - 4y - 6x - 20 = 0
 y2 - 4y + 4 - 4 = 6x + 20
(y - 2)2 = 6x + 24
(y - 2)2 = 6(x + 4)
Dat was de parabool  y2 = 6x  met brandpunt (11/2, 0) en richtlijn x = -11/2
Die is 2 omhoog en 4 naar links geschoven.
Dus de top wordt (-4,2)  het brandpunt wordt  (-21/2, 2) en de richtlijn x = -51/2
Dat geeft de parabool hiernaast.

   
   
  OPGAVEN
   
1. Geef van de volgende parabolen de coördinaten van de top en het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn.
Schets vervolgens de grafiek.
       
  a. y2 + 2y - 8x - 15 = 0  
  b. 4y + 4x - x2 - 16 = 0  
  c. y2 + 12y + 46 = 10x  
  d. 4y = 6x + y2 + 22  
  e. 6x + x2 - 2y - 7 = 0  
       
2. Toon aan dat een parabool met top (0,0)  en brandpunt (0, c) de vergelijking  x2 = 4cy  heeft.
       
3. Geef van de volgende parabolen de coördinaten van de top en het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn.
Schets vervolgens de grafiek.
       
  a. y = 2x2 + 8x - 6  
  b. x = 4y2 - 8y + 10  
       
4. Geef vergelijkingen van de volgende parabolen:
       
  a. Met brandpunt  (6, 4) en richtlijn x = 2.
       
  b. Met richtlijn  y = 3 en top  (-2, 9).  
       
  c. Met top (6, -2) en brandpunt  (6, -5).  
       
  d. Met brandpunt  (-4, -2) en richtlijn  de y-as.  
       
5. Er zijn een heleboel cirkels waar het punt P(3, 2) op ligt, en die de y-as raken.
Hiernaast zie je er vier getekend.

Geef een  vergelijking van de kromme die door de middelpunten van al deze cirkels gaat.

     
       
6.

Een scheve parabool.

Gegeven is lijn lx + y - 3 = 0.

We bekijken alle punten die dezelfde afstand tot l als tot O (0,0) hebben.
Die punten vormen een scheef liggende parabool.

Door te stellen  d(P, O) = d(P, l) kun je een formule voor deze parabool opstellen.

Schrijf deze formule in de vorm
ax2 + by2 + cx  + dy  + exy  +  f  = 0

     

x2 + y2 + 6x + 6y - 2xy - 9 = 0

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)