Overgangsmatrix

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Het komt erg vaak voor dat de knooppunten van een graaf  "toestanden" voorstellen en dat de verbindingslijnen de kans aangeven dat een persoon in een bepaalde tijd van de ene naar de andere toestand gaat. De graaf  zelf is dus een al soort  VAN-NAAR-graaf met bij de verbindingslijnen kansen (soms procenten, maar dat is natuurlijk hetzelfde).
De wegenmatrix die daarbij hoort noemen we een overgangsmatrix.
       
Hiernaast zie je de graaf van een natuurgebied waarin drie soorten vegetaties (ecotypen) voorkomen, namelijk Grasland, Struikengebied en Bos. Elk jaar zal een gedeelte van die vegetaties veranderen in een andere. De getallen bij de verbindingslijnen geven de kansen daarop aan.

Zo zie je bijvoorbeeld dat de kans dat grasland in struikengebied verandert gelijk is aan 0,25. Dus zal gemiddeld van al het grasland in een gebied 25% het volgend jaar struikengebied zijn geworden.
Je ziet ook dat van het bos 90% volgends jaar nog steeds bos is (dat is die lus).

Stel dat er dit jaar 100 ha grasland is en 200 ha struikengebied en 300 ha bos. Hoeveel van elke soort zal er dan volgens jaar zijn?
Laten we "met de hand" uitrekenen hoeveel struikengebied er volgend jaar zal zijn.
Van het struikengebied blijft 70% nog steeds struikengebied dus dat is 0,7 200 = 140 ha.
Er gaat vanaf het grasland 25% naar het struikengebied, dus dat is nog eens extra 100 0,25 = 25 ha.
Tenslotte verandert van het bos 10% in struikengebied, en dat geeft nog eens  0,10 300 = 3 ha.
Dus in totaal zal er volgens jaar  140 + 25 + 30 = 195 ha struikengebied zijn.
       
Maar wat heb je nou berekend?
195 = 0,25 100 + 0,7 200 + 0,10 300
Daar staat een inproduct (rij maal kolom) dus dat kan ook met een matrixvermenigvuldiging.
Hiernaast zie je hoe je in n keer met een matrixvermenigvuldiging de aantallen gras, struiken en bos volgend jaar uit de aantallen dit jaar kunt berekenen.
       
Denk er goed om:  als je de overgangsmatrix opschrijft met VAN bovenaan en NAAR vraan, dan moet je de "bevolking""  (dat is de aantallen per categorie) als een kolom nemen.
       
En als je het over 10 jaar wilt weten? Wat dan?
       
Omdat je bij een gegeven toestand de volgende toestand steeds kunt berekenen door met de overgangsmatrix M te vermenigvuldigen, kun je de situatie over 10 jaar berekenen door tien keer met M te vermenigvuldigen.
Dan kun je natuurlijk ook gewoon in n keer met M10 te vermenigvuldigen.
       

beginsituatie B0, overgangsmatrix M   ⇒   na n jaar is de situatie  Bn = Mn B0

       
Dat kan met de GR gelukkig lekker snel:
       

       
Over 10 jaar zal de situatie dus ongeveer  50,48 ha gras en  170,47 ha struiken en 379,05 ha bos zijn.
       
Evenwicht.
       
Met de vraag  "Is er een evenwicht"  bedoelen we eigenlijk:  ""Is er een situatie B die door de overgangsmatrix gewoon dezelfde B weer oplevert?"  Als dat zo zou zijn, dan is volgende B wr gelijk en die daarna wr gelijk en zo maar door. Kortom:  Het  verandert niet meer.

Hoe vind je zo'n evenwichtssituatie?
Nou, dat staat eigenlijk hierboven al:  Als je B M uitrekent, dan moet B er weer uitkomen,  ofwel:
       
B M = B
       
Daarmee kun  je vrij eenvoudig de  evenwichtshoeveelheden uitrekenen, immers als je B M = B  uitschrijft krijg je een stelsel vergelijkingen. 
Noem de hoeveelheden in het voorbeeld hierboven in de evenwichtssituatie  G, S en B, dan krijg je dit:
       

       
Maar met de drie vergelijkingen rechts is iets aan de hand.  Iets vervelends....

Kijk  maar wat er gebeurt als je ze gaat oplossen;
van de bovenste kun je maken  0,1S = 0,35G  dus  S = 3,5G.  Dat kun je invullen in de tweede en derde:
(2):   0,25G + 0,7 3,5G + 0,1B = 3,5G  ofwel   0,1B =  0,8G  ofwel  B = 8G
(3):  0,1G + 0,2 3,5G + 0,9B = B   ofwel  0,8G = 0,1B  ofwel  B = 8G.

H Bah!!
Dat geeft twee keer dezelfde vergelijking, dus dat valt niet op te lossen.  Dit stelsel vergelijkingen heet afhankelijk  en heeft oneindig veel oplossingen!!!  

Gelukkig is er redding:  we weten namelijk ng een vergelijking, namelijk dat het totaal aantal constant blijft: 
G + S + B =  600
Dat geeft  met  B = 8G en   S = 3,5G  de oplossing  G = 48,  B = 384  en  S = 168 en dat is de gezochte evenwichtstoestand.

Dit laatste gebeurt altijd:  omdat het totaal aantal constant is, is het stelsel afhankelijk. Het zit hem erin dat de som van elke kolom van de overgangsmatrix gelijk is aan 1. Dat betekent dat er geen land verdwijnt of bijkomt, het wisselt alleen onderling van plek. Zo'n systeem heet een gesloten systeem, en geeft altijd een afhankelijk stelsel. Maar gelukkig hebben we dan ook altijd als extra vergelijking dat het totaal constant blijft.
       

totale hoeveelheid constant  ⇔  gesloten systeem  ⇔  afhankelijk stelsel

       
In deze les over stelsels van recursievergelijkingen kun je er meer over lezen.
       
OPGAVEN
 
Je mag er voor het gemak van uitgaan dat alle aantallen in de volgende vraagstukken geen gehele getallen hoeven te zijn (ook al is dat eigenlijk wel zo).
   
1. Op een gegeven moment heerst er onder de 600 scholieren van een  middelbare school een vervelende ziekte. De scholieren zijn in te delen in drie categorien:  Gezonde, Besmette en Zieke leerlingen (G, B, Z)
De besmette scholieren hebben al wel het virus onder de leden, maar het is nog niet duidelijk of ze ook werkelijk ziek zullen worden. In een maand tijd wordt 50% inderdaad ziek, maar ook 50% weer gezond.
Verder geneest elke maand 70% van de zieken, (30% blijft ziek) en van de gezonde leerlingen raakt elke maand 60% besmet.
           
  a. Teken een graaf die bij deze gegevens hoort, en stel een overgangsmatrix M op.
           
  b. Nu zijn er van elke soort 200 leerlingen.
Bereken hoeveel er dat over 2 maanden zullen zijn. (de aantallen hoeven niet geheel te zijn).
           
  c. Uiteindelijk ontstaat er een stabiele situatie waarbij de aantallen  Zieken, Gezonden en Besmetten niet meer zullen veranderen. Bereken hoe groot die aantallen dan zullen zijn.
           
2. Een maatschappij voor autoverzekeringen geeft mensen die schadevrij rijden een no-claim korting op de te betalen premie. Er zijn drie soorten klanten.
Groep A bestaat uit mensen die 100% premie moeten betalen.
Als een automobilist uit groep A een jaar schadevrij rijdt, komt hij in groep B waar hij nog maar 90% premie betaalt.
Als een automobilist uit groep B ng een jaar schadevrij rijdt komt hij in groep C, waar hij nog slechts 80% premie hoeft te betalen.
Zolang een automobilist uit groep C een jaar schadevrij blijft rijden blijft hij in groep C, maar zodra een automobilist uit groep B of groep C in een jaar wl schade declareert, komt hij direct weer in groep A.
           
  a. Geef een verbindingsmatrix van dit systeem.
           
  Het blijkt dat van groep A elk jaar 70% van de mensen schadevrij rijdt, en van groep B ook 70% en van groep C zelfs 80%.
           
  b. Teken met deze gegevens een graaf met gewogen verbindingslijnen. Geef de overgangsmatrix O.
           
  c. Bereken O3.  Wat stelt O3  voor?
           
  d. Wat betekent het als in O2 de som van de getallen in de kolom bij een bepaald knooppunt groter is dan de som van de getallen in de rij van datzelfde knooppunt?
           
  Nu zijn er 500 klanten A,  300 klanten B en 200 klanten C.
           
  e. Bereken met matrixvermenigvuldiging hoe de toestand over 5 jaar zal zijn.  De aantallen klanten hoeven niet geheel te zijn.
           
3. De firma Fons Janssen leent leesmappen uit. Omdat niet alle klanten hetzelfde zijn kan men kiezen uit twee verschillende mappen:  map A met literair getinte lectuur, en map B met vooral roddelbladen.
Uit de ervaring van de firma blijkt:
  80% van de klanten die in een week map A hebben gelezen neemt de week erop weer map A. 20% van die lezers stapt over naar map B.
  60% van de klanten die map B hadden neemt na een week weer map B, 40% stapt over op map A.
           
  Na een reclamecampagne in een nieuwbouwwijk krijgt de firma Fons Janssen een aantal nieuwe klanten. 60% van deze klanten neemt de eerste keer map A, 40% neemt eerst map B.
           
  a. Hoeveel % mappen van elke soort moet de firma de vijfde week daarna bezorgen?
           
  b. Hoe zullen de aantallen te bezorgen mappen A en B in deze wijk zich in de loop van de tijd ontwikkelen?
           
4. In een winkelcentrum heeft men drie plaatsen (A, B en C) om winkelkarretjes te halen. Het blijkt dat de klanten die een karretje op een bepaalde plek halen, dat karretje soms weer op een andere plek achterlaten.
Aan het eind van een dag blijkt 80% van de karretjes die in het begin op plaats A stonden wr op plaats A te staan. De andere 20% is op plaats B terechtgekomen.
Van plaats B is  30% op plaats A terechtgekomen, 10% op plaats C, en de rest staat nog steeds op plaats B.
Van plaats C is 10% op plaats A terechtgekomen, 10% op plaats B, en de rest staat weer op plaats C.
           
  a. Teken een graaf en stel een overgangsmatrix op.
           
  b. Hoe zullen de karretjes uiteindelijk over de plaatsen A, B en C verdeeld zijn?
           
5. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1989
           
  De woningen in een stad worden onderscheiden in koop- en huurwoningen. Om te komen tot een goed woningbeleid heeft de gemeente gegevens verzameld over de verhuizingen binnen de stad. Deze gegevens staan vermeld in de onderstaande 'verhuismatrix':
           
 

           
  Uit de matrix kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat van alle huishoudens die vanuit een koopwoning zijn verhuisd, 80% opnieuw naar een koopwoning en 20% naar een huurwoning zijn gegaan.

Bij de beantwoording van de vragen in deze opgave moet je gebruik maken van deze matrix.

In een bepaalde periode verhuizen binnen de stad 2000 huishoudens vanuit een koopwoning en 1500 vanuit een huurwoning.
           
  a. Hoe zijn die 3500 huishoudens aan het eind van die periode verdeeld over koop- en huurwoningen?
           
  Op grond van de verhuismatrix trekt iemand de conclusie dat er een groter aantal huishoudens van huurwoning naar koopwoning verhuist dan van koopwoning naar huurwoning.
           
  b. Ben je het eens met deze conclusie? Licht je antwoord toe.
           
  Eind 1988 zijn er in de stad 10000 koopwoningen (de 'koopsector') en 20000 huurwoningen (de 'huursector') bewoond. Een gemeenteambtenaar verwacht dat in de komende tijd vanuit elk van beide sectoren jaarlijks 10% van de huishoudens binnen de stad zal verhuizen. Hij neemt aan dat het totaal aantal huishoudens in de stad niet verandert in de komende jaren.
           
  c. Bereken de behoefte aan huur- en koopwoningen aan het eind van 1990 volgens de verwachting van de gemeenteambtenaar.
           
  Bekijk opnieuw de situatie van eind 1988.
De gemeenteambtenaar beweert dat het voor het gemeentelijke woningbeleid eenvoudiger zou zijn als binnen de stad jaarlijks 15% van de huishoudens vanuit de koopsector en 5% vanuit de huursector verhuist.
           
  d. Waarom zou dat voor het woningbeleid eenvoudiger zijn?
           
6. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1991.
           
  Het natuurgebied de Biesbosch staat onder invloed van de getijden. Door de afsluiting van het Haringvliet in 1970 werd die invloed veel kleiner. Na dit ingrijpen is de natuur in de Biesbosch op zoek naar een nieuw evenwicht. Deze beweging wordt gellustreerd in het volgende schema. In dit schema zie je dat er 8 ecotypen worden onderscheiden.
           
 

           
  Aanvullende informatie bij dit schema wordt gegeven door de 8 8 matrix M (zie hieronder).
Uit de matrix M blijkt bijvoorbeeld dat per jaar 2% van het aantal hectare "Oeverwal" overgaat in "Oever". Elke stip in de matrix M stelt het getal 0 voor.
In de kolommatrix ernaast is af te lezen hoeveel hectare elk van de acht ecotypen besloeg in 1983.
           
 

           
  a. Bereken het aantal hectare grienden in 1984.
     
  b. Bereken hoeveel hectare Oeverwal er nog zal zijn in 1993.
           
  Neem aan dat de overgangspercentages ook op de lange duur ongewijzigd blijven. In de toekomst zal er dan in de Biesbosch een nieuw evenwicht ontstaan. In die evenwichtstoestand zullen nog maar vier van de acht ecotypen voorkomen.
           
  c. Geef de overgangsmatrix bij de uiteindelijke evenwichtstoestand.
           
7. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1995.
           
  Om enig inzicht te krijgen in het verloop van het aantal zieken in bedrijven gebruikt men wiskundige modellen. In deze opgave gaan we uit van een bedrijf met 1000 werknemers.

We bekijken eerst een eenvoudig model. Er zijn 2 categorien: gezond (G) en ziek (Z). Iedere maandag wordt het aantal zieken en gezonden geteld. In dit model gaan we er van uit dat zich iedere week het volgende patroon voordoet:
81% van de zieken op een bepaalde maandag is een week later weer gezond;
19% van de zieken blijft ziek;
7% van de gezonden op een maandag is een week later ziek;
93% van de gezonden blijft gezond.
Deze gegevens vinden we terug in matrix M:

 

           
  We nemen aan dat de getallen in deze matrix voor iedere week gelden.

Op een bepaalde maandag, 9 februari, blijken er 900 gezonden en 100 zieken te zijn.
We willen weten hoeveel zieken er precies n week eerder, dus op maandag 2 februari, volgens dit model waren. Iemand denkt dat er toen, op 2 februari, 880 gezonden en 120 zieken waren.

           
  a. Laat met een berekening zien dat deze persoon geen gelijk kan hebben.
           
  b. Bereken hoeveel van de 1000 werknemers er op maandag 2 februari ziek waren.
           
  Het maken van een passend wiskundig model is een lastige zaak. Meestal heeft men slechts de beschikking over een tabel waarin voor een aantal opeenvolgende weken de aantallen gezonde en zieke werknemers staan. Zie de volgende tabel.
           
 
tijd t in weken 1 2 3 4 5 6
aantal gezonde
werknemers G
1000 900 870 867 874 884
aantal zieke
werknemers Z
0 100 130 133 126 116
           
  Een deel van deze gegevens vind je ook terug in de volgende figuur:
           
 

           
  Het is mogelijk om op grond van de gegevens op t = 1, t = 2 en t = 3 een eenvoudig model zoals het model met matrix M te maken. Daarbij wordt er in het geheel niet gelet op de gegevens na t = 3.
           
  c. Maak met de gegevens op t = 1, t = 2 en t = 3 een model in de vorm van een 2 2 matrix
           
  d. Laat zien dat met dit zojuist gevonden model voor t = 4  niet de verdeling van de tabel hierboven gevonden kan worden.
           
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1997
           
  De indruk bestaat dat Sinterklaas minder populair wordt en mensen steeds vaker cadeautjes geven met Kerstmis. Daarom heeft men een onderzoek gedaan onder 5000 personen van 12 jaar en ouder. De resultaten van dit onderzoek staan in de volgende figuur.
           
 

           
  Uit deze figuur worden twee conclusies getrokken:
Conclusie I:  "Het aantal personen dat in 1993 hetzelfde doet als in 1992, blijkt bij Kerstmis iets groter te zijn dan bij Sinterklaas".
Conclusie II: "Bij Sinterklaas zijn er meer 'stoppers' dan 'starters' terwijl dat bij Kerstmis precies andersom is".
           
  a. Toon de juistheid van beide conclusies aan met getallen uit de tabellen van de figuur hierboven.
           
  In het vervolg van de opgave beperken we ons tot de tabel over Sinterklaas.  Uit deze tabel kunnen we bijvoorbeeld halen dat 3050 personen in 1992 wel cadeaus geven en 1950 personen niet. Deze en andere gegevens uit de tabel zijn gebruikt om de tabel van Sinterklaas uit de figuur om te werken tot matrix M:
           
 

           
  In deze matrix kun je bijvoorbeeld aflezen dat 87% van de personen die in 1992 met Sinterklaas wel cadeaus geven, dat ook in 1993 doet.
           
  b. Laat met een berekening zien hoe men aan het getal 0,18 in de matrix is gekomen.
           
  Uit het onderzoek is bekend hoeveel van de 5000 ondervraagden in 1992 en in 1993 wel of geen cadeaus hebben gegeven met Sinterklaas. Men gaat er van uit dat matrix M ook de daarop volgende veranderingen van jaar tot jaar weergeeft. Daarom kan matrix M gebruikt worden om het aantal cadeaugevers met Sinterklaas in de jaren na 1993 te berekenen.
           
  c. Bereken met behulp van matrix M hoeveel van die 5000 personen in 1994 met Sinterklaas wel cadeaus geven.
           
9. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1999.
           
  Bij en op rotondes vinden vaak verkeerstellingen plaats om de doorstroming van het verkeer te meten. Zo zien we in matrix A de doorstroming tijdens de ochtendspits op een rotonde waar een viertal wegen P, Q, R en S op uitkomt. Zie onderstaande figuur. De getallen in de matrix geven steeds aan welk deel van de motorvoertuigen dat vanaf de ene weg de rotonde op komt er bij de andere weg weer af gaat. Zo betekent het getal 0,32 in de tweede rij bijvoorbeeld dat 32% van de voertuigen die vanaf R de rotonde op rijden, de rotonde bij Q verlaat.
           
 

           
  a. Leg uit waarom wel van elke kolom van A moet gelden dat de som van de getallen gelijk is aan 1, maar dat dit voor de rijen niet zo hoeft te zijn.
           
  In de volgende tabel staan nog wat gegevens over deze rotonde tijdens de ochtendspits.
           
 
aankomst op rotonde vanaf aantal voertuigen
P 512
Q 309
R 791
S 231

totaal

1843
           
  b. Bereken de verschillende aantallen motorvoertuigen die bij P, Q, R en S de rotonde weer verlaten.
           
  De gemeente wil de verkeerssituatie bij de rotonde veranderen. Vlak bij de rotonde is namelijk een gevaarlijke driesprong van weg R met de wegen U en T. Deze gevaarlijke situatie wordt opgeheven door weg R te vervangen door twee nieuwe wegen R1 en R2. Dan komen er op de rotonde niet vier, maar vijf wegen uit. In onderstaande figuur zijn de oude en de nieuwe situatie in beeld gebracht.
           
 

           
  Matrix B beschrijft de doorstroming op de gevaarlijke driesprong. Matrix B is op dezelfde manier opgebouwd als matrix A.
 
           
  Men neemt aan dat de verkeersstroom die uit T (oude situatie) via R op de rotonde terechtkomt zich verdeelt over de richtingen P, Q en S volgens de verhoudingen van matrix A. Zo gaat bijvoorbeeld van het verkeer dat vanaf T via R de rotonde op rijdt ook 32% naar Q. Voor de verkeersstroom uit U wordt dezelfde veronderstelling gemaakt.
           
  c. Toon aan dat ongeveer 28% van de voertuigen uit T de rotonde bij P verlaat.
           
  De afdeling Verkeer van de gemeente stelt voor de nieuwe situatie een doorstromingsmatrix C op. Men gebruikt daarbij de gegevens uit matrix A en uit matrix B. Hieronder zie je deze matrix C gedeeltelijk ingevuld.
   
 

  In de kolom van R1 staat alleen het getal 0,28, maar de vier getallen eronder ontbreken.
           
  d. Bereken deze vier ontbrekende getallen.
           
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)