1. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1994.

Een waterleidingbedrijf maakt grondwater geschikt voor consumptie door het in drie fases biologisch te zuiveren. Het bedrijf beschikt daartoe over drie bassins I, II en III, waarin achtereenvolgens de eerste, tweede en derde zuivering plaatsvindt.
       
 

       
  Alle drie de bassins zijn gelijktijdig in bedrijf. Na afloop van elke zuiveringsperiode wordt achtereenvolgens water overgepompt van bassin III naar het reservoir, van II naar III, en van I naar II. Daarna wordt een hoeveelheid grondwater in bassin I gebracht. Bij het overpompen van bassin III naar het reservoir,  van II naar III en van I naar II blijft steeds 8% van het water in het bassin achter en verdwijnt bij elke pomp 2% van het water in de grond door lekkages van de pomp.
       
  a. Geef de overgangsmatrix voor de drie bassins.
       
  b. Noem de matrix die in vraag a) bedoeld is M.
Beredeneer dat de matrix M2 n nul minder heeft dan M.
       
  c. De matrix M geeft een onvolledig beeld van het proces dat hierboven beschreven is. Maak een gerichte graaf met vijf punten die dit proces wl volledig weergeeft. Vermeld passende percentages bij de pijlen die vanuit de punten I, II en II vertrekken.
       
  d. Veronderstel dat na een zuiveringsperiode en voor het overpompen aanwezig is:
x m3 in I.
y m3 in II.
z m3 in III.
Na het overpompen wordt 5290 m3 grondwater in I gebracht.
Bereken, uitgedrukt in x, y en z, hoeveel m3 water dan in elk van de bassins is.
       
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2001.

Biologen hebben onderzoek gedaan naar het contact tussen moeder en kind bij resusapen. Daartoe observeerden ze n moeder en haar kind gedurende langere tijd. Men onderscheidde daarbij drie toestanden:

  bij de moeder (er is lichaamscontact maar het kind is niet aan de borst), afgekort "bij";
  aan de borst,  afgekort "borst";
  los van de moeder (er is geen lichaamscontact tussen moeder en kind), afgekort "los".
       
  De biologen registreerden tijdens het onderzoek nauwkeurig welke overgangen er tussen deze toestanden voorkwamen. Zo ontstond een rij waarnemingen. Het begin en het eind van deze rij zie je hieronder in beeld gebracht:
 

bij    los  →  borst  →  borst  →  .....  →  los  →  bij

       
  Zoals je ziet kwam het voor dat een toestand overging in dezelfde toestand. Dit gebeurde bijvoorbeeld als de moeder het kind van de borst wilde halen en het kind daartegen protesteerde en weer terug aan de borst ging.
In de volgende figuur zie je de aantallen overgangen tijdens het onderzoek in een graaf aangegeven.
       
 

       
  Wanneer we bij de toestand "borst" de getallen bij de uitgaande pijlen optellen, dan vinden we dezelfde uitkomst als wanneer we de getallen bij de aankomende pijlen bij "borst" optellen. Dit geldt ook voor de andere twee toestanden.
       
  a. Verklaar met de gegeven rij waarnemingen waarom in de graaf bij iedere toestand de som van de getallen bij de uitgaande pijlen gelijk is aan de som van de getallen bij de aankomende pijlen.
       
  Bij deze graaf kunnen we onderstaande overgangsmatrix M maken. De getallen in M zijn afgerond op drie decimalen.
       
 

       
  b. Laat met een berekening zien hoe uit de gegevens van de graaf het getal 0,652 in deze matrix tot stand is gekomen.
       
  Met behulp van de graaf kunnen we ook berekenen hoe vaak tijdens het onderzoek een bepaalde toestand voorkwam. Je vindt die aantallen in onderstaande kolommatrix P. Hierbij zijn begin- en eindtoestand van het onderzoek als n toestand gezien.
       
 

       
  c. Bereken M P en geef de elementen van deze matrix in 3 decimalen nauwkeurig.
       
3. Een inspecteur van politie belast met verkeerscontrole, krijgt opdracht om op de kruispunten 1, 2, 3, 4 en 5 dienst te doen. Op elk kruispunt oefent hij zijn dienst tenminste n uur uit. Aan het einde van zo'n uur besluit hij op welk kruispunt hij zijn volgende uur zal zijn. Dat kan f een naburig kruispunt f het zelfde kruispunt zijn. Hij laat zijn keus daarbij door het toeval bepalen. Elk van zijn keuzemogelijkheden heeft daarbij even veel kans.
Als hij bijvoorbeeld op kruispunt 2 is geweest, dan heeft hij kansen elk 1/3 om op het volgende uur op kruispunt 1, 2 of 3 te zijn.
Neem aan dat het verhuizen van kruispunt naar kruispunt geen tijd kost.

       
  a. Geef  de overgangsmatrix M die bij deze situatie hoort.
     
  b. Om 10:00 uur gaat de agent naar kruispunt 5.
Hoe groot is de kans dat hij van 12:00 tot 13:00 op punt 3 zijn dienst uitoefent?
     

3/8

  c. Als je alle getallen van M2 optelt dan komt er 5 uit.
Leg uit waarom dat zo is zonder de waarden van M2 te gebruiken.
       
4. Aardolie moet als het net gewonnen is, een aantal bewerkingen ondergaan om bruikbaar gemaakt te worden. Ne de eerste bewerkingsronde zijn drie soorten tussenproducten ontstaan, die we aangeven met licht, middel en zwaar.
Na de tweede bewerkingsronde zijn drie eindproducten ontstaan:  benzine, kerosine en smeerolie.

Een aardoliemaatschappij wint aardolie uit drie bronnen:  B1, B2 en B3.
Bij de eerste bewerkingsronde hoort overgangsmatrix A:
       
 

       
  a. Neem aan dat er in een week 4000 ton uit B1 en  8000 ton uit B2  en  6000 ton uit B3 zijn verwerkt.
Bereken dan met matrixvermenigvuldigen hoeveel van elk van de tussenproducten is geproduceerd.
       
  b. In een andere week zijn de volgende hoeveelheden tussenproducten geproduceerd:  2600 ton licht,  3200 ton middel en  4200 ton zwaar.
Bereken hoeveel ton uit elke bron er die week is verwerkt.
       
  Bij de tweede bewerkingsronde hoort overgangsmatrix B:
       
 

       
  c. Leg uit hoe je aan A en B kunt zien dat er bij de eerste ronde geen product verloren gaat, maar bij de tweede ronde wel.
       
  d. Geef n overgangsmatrix M die direct de overgang van de beginhoeveelheden uit de drie bronnen omrekent naar de eindproducten benzine, kerosine en smeermiddel.
       
  e. Stel een matrix op waarmee in n keer berekend kan worden hoeveel ton er in totaal verloren gaat als je begint met hoeveelheden B1, B2 en B2
       
5. De plaatsen Amerveen, Bassum, Colwerd, Driewouden en Eerle zijn door een wegennet als hiernaast met elkaar verbonden. Het aantal kilometers dat van de ene plaats naar de andere moet worden afgelegd staat in de afstanden matrix A hieronder.
 

 
       
  a. Zet de afstanden tussen de plaatsen in de graaf hierboven.
       
  b. Spiegel matrix A in zijn hoofddiagonaal. Dat geeft matrix AT.
Tel nu A en AT bij elkaar op en noem deze matrix B
Bereken V en leg uit wat de getallen in B voorstellen.
       
  Een onderzoeksbureau zoekt uit hoeveel leerlingen er de komende jaren ongeveer te verwachten zijn uit de verschillebnde plaatsen. Dat geeft:
Amerveen: 120,  Bassum: 150,  Colwerd: 90,  Driewouden: 110,  Eerle:  130 leerlingen.
       
  c. Stel een matrix N op die deze aantallen weergeeft en bereken vervolgens B N of N B zodat het resultaat iets zinvols voorstelt.
Waar kan de overheid de school gezien deze aantallen het best plaatsen?
       
6. In hoekpunt A van een kubus zit een  mier die over de ribben gaat lopen. Over elke ribbe doet hij 2 minuten. Bij een hoekpunt aangekomen kiest de mier willekeurig n van de drie aangrenzende ribben om verder te lopen (terug kan dus ook).

In hoekpunt G zit een spin stil te wachten.

Als de mier bij de spin aankomt wordt hij opgegeten.
     
  a. Stel een overgangsmatrix M met kansen bij dit verhaal op. Denk eraan dat de mier vanaf G niet verder gaat.
     
  b. Kies de beginvector B als:  
   

    Bereken nu M20 B. en tel de getallen van deze matrix op.
Leg vervolgens duidelijk uit hoe je hieruit kunt afleiden hoe groot de kans is dat de mier na 40 minuten nog in leven is.
       
  c. Leg uit hoe je de getallen uit  M20 B  ook kunt optellen door een geschikte matrixvermenigvuldiging C M20 B
       
  Als de de getallen van  Mn B voor een aantal waarden van n optelt dan geeft dat de volgende tabel:
       
 
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C Mn B 1 1 0,8889 0,7407 0,6667 0,5597 0,4993 0,4225 0,3743 0,3187
       
  De spin heeft er  na 20 minuten genoeg van een laat zich aan een draadje van de kubus zakken.
       
  d. Bereken de gemiddelde tijd die de mier tijdens dit spannende verhaal zal leven.
       
7. Een muis loopt rond in een doolhof met daarin de kamers A, B, C, D en E. Hiernaast zie je hoe die door gangen met elkaar zijn verbonden.
Elke keer als hij in een kamer aankomt  gaat hij direct weer weg via een willekeurig gekozen gang (terug kan dus ook!). Die gang blijft hij in de gekozen richting volgen tot de volgende kamer.
Over elke gang doet de muis 12 minuten.
De muis zit om 10:00 uur in kamer A.

       
  Stel dat er een kat in kamer D zit, die de muis opeet zodra hij de kamer binnenkomt.
Hoe groot is dan de kans dat de muis om 11:00 uur nog leeft?
     

0,2952