Aangedreven Oscillator.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     



gedempte trillingen

Bij een gedempte trilling hadden we de volgende differentiaalvergelijking :   mu'' + k u' + c u = 0
weet je het nog?
Die u'' is de versnelling (netto kracht), die k-term gaf de luchtwrijving, en die c-term gaf de terugwerkende kracht.
Maar het kan natuurlijk ook heel goed dat er nog een externe kracht op het systeem wordt uitgeoefend.
Zo'n kracht heet een aandrijvende kracht.

Laten we die vooral rustig aan introduceren.

Eerst maar eens systemen met een aandrijvende kracht zonder demping  (dus met k = 0).
Dat geeft de differentiaalvergelijking:   mu'' + cu = F(t)

Die kennen we intussen: het is een inhomogene vergelijking van de tweede orde. De oplossing van de homogene vergelijking hebben we in de les over vrije trillingen al gevonden.

OK.  Let's go!
De homogene vergelijking is  mu'' + cu = 0  en  u = eλt  invullen geeft dan  (mλ2 + c)eλt = 0
Dat geeft twee imaginaire oplossingen:  λ = i(c/m)
De twee rele oplossingen zijn dan  cos((c/m)t) en   sin((c/m)t)
De algemene oplossing van de homogene vergelijking is   A cos((c/m)t) + B sin((c/m)t)

We kunnen nu proberen met de methode van variatie van parameters of de methode van onbepaalde cofficinten een particuliere oplossing te vinden.
Welke methode het handigst is?  Dat kun je het best een beetje van de vorm van de F(t) laten afhangen.

Een interessant geval.

Het wordt pas leuk en spannend als de aandrijvende kracht k een  cosinus- of sinusfunctie is, bijvoorbeeld  F(t) = Fcosωt met ω en F constante getallen.
Als je de methode van onbepaalde cofficinten wilt gebruiken om een particuliere oplossing te vinden, dan zou je nu gaan proberen of   Pcosωt + Qsinωt  misschien een oplossing is, en dat zal in het algemeen wel lukken.
Ach, laten we het maar gewoon doen:

u =  Pcosωt + Qsinωt  geeft  u'  = -ωPsinωt + ωQcosωt  en  u'' = -ω2Pcosωt - ω2Qsinωt
invullen in de differentiaalvergelijking geeft  m  (-ω2Pcosωt - ω2Qsinωt) + c (P cosωt + Q sinωt) = Fcosωt
herrangschikken:   cosωt (-mω2P + cP - F) + sinωt (-mω2Q + cQ) = 0
Het tweede deel geeft  Q(c - mω2) = 0  ofwel  Q = 0
Het eerste deel geeft  P(c - mω2) = F

Met A en B afhankelijk van de beginvoorwaarden.
       
Een nog interessanter geval.
       
Er is een situatie waarbij dat interessante geval van net in de soep loopt!
Kijk; we probeerden voor de particuliere oplossing de vorm  u =  Pcosωt + Qsinωt  en we weten dat dat meestal zal lukken.

Meestal......

Wiskundigen houden niet van het woord "meestal".....

Het lukt namelijk NIET als die poging "toevallig" precies de oplossingen van de homogene vergelijking bevat!!!!
Als dat zo is (dus als  ω = (c/m)) dan moet je als poging proberen  u = P t cosωt + Q t sinωt 

Daar gaan we dan maar weer (deze keer met de productregel):
u = Ptcosωt + Qtsinωt
u'
  =  Pcosωt - ωPtsinωt  + Qsinωt + ωQtcosωt
u''
=  -ωPsinωt - ωPsinωt - ω2Ptcosωt + ωQcosωt + ωQcosωt - ω2Qtsinωt
invullen in de differentiaalvergelijking:
-mωPsinωt - mωPsinωt - mω2Ptcosωt + mωQcosωt + mωQcosωt - mω2Qtsinωt + cPtcosωt + cQtsinωt = Fcosωt
cosωt (2mωQ - F)  +  sinωt (-2mωP - mω2Q)  + tcosωt (-mω2P + cP) + tsinωt (-mω2Q + cQ) = 0
       
Maar die blauwe stukken zijn nul!
Er staat in beiden een factor  -mω2 + c  maar omdat  ω = (c/m) is dat  -m c/m + c = -c + c = 0

Dus er blijft over:  cosωt (2mωQ - F)  +  sinωt (-2mωP) = 0
Dat laatste stuk geeft direct  P = 0, en dat eerste stuk geeft  2mωQ = F  dus  Q = F/2mω
Maar met dat laatste stuk is iets gevaarlijks aan de hand!  Er zit een t in de amplitude van die sinus!!!
Dat betekent dat de uitwijking in de loop van de tijd alsmaar groter wordt.

groter
en groter
en groter
en groter
en groter

Dat kan aardig uit de hand lopen. Natuurkundigen kennen dit verschijnsel onder de naam resonantie.
       
Het is misschien een beetje afgezaagd, maar ik kan het niet laten om je hiernaast het beroemdste resonantiefilmpje dat er bestaat te laten zien.

Hiernaast zie je wat er gebeurt als  ω = (c/m)
(in dit geval was de drijvende kracht de wind, die "toevallig" dezelfde frequentie w had als de "eigenfrequentie" van de brug)

Lijkt wiskundig zo'n onschuldige formule......

       
Demping erbij.
       
Ach, eigenlijk verandert er niet zoveel. Alle methodes blijven gelijk.
Een voorbeeldje is wel genoeg, denk ik....

Voorbeeld.
Een voorwerp van 2 kg hangt aan een veer. Als je het voorwerp aan de veer hangt, dan rekt het (door de zwaartekracht)  de veer 40 cm uit. er wordt op het voorwerp een drijvende kracht  F = 10cos(5t) uitgevoerd.
In het begin wordt het voorwerp 20 cm omlaag getrokken en op tijdstip t = 0 losgelaten. De luchtdemping zorgt voor een kracht van 26 N als de snelheid  50 cm/sec is. Neem een zwaartekrachtsversnelling van g = 10.
Geef een formule voor u(t)

Oplossing.
Eerst maar even de natuurkunde vertalen naar wiskunde.
de veerconstante: het evenwicht  cu = mg  geeft   c 0,4 = 2 10  ofwel  c = 50
de wrijvingscofficint:   26 = k 0,50  geeft  k = 52
de beginvoorwaarden:  u(0) = 0,2  en  u'(0) = 0
dat geeft de differentiaalvergelijking:   2u'' + 52u' + 50u = 10cos(5t)  met u(0) = 0,2 en u'(0) = 0

Zo. Nu is het wiskunde geworden. Gelukkig maar.
De homogene vergelijking is 2u'' + 52u' + 50u = 0 met karakteristieke vergelijking  2λ2 + 52λ + 50 = 0
Dat geeft  λ = -1  ∨  λ = -25
De oplossing van de homogene vergelijking is dan  u(t) = A e-t + B e-25t
Als particuliere oplossing proberen we (onbepaalde cofficinten):  u(t) = Pcos5t + Qsin5t
Invullen:  u' = -5Psin5t + 5Qcos5t   en  u''  = -25Pcos5t  - 25Qsin5t
Dat geeft2( -25Pcos5t  - 25Qsin5t) + 52( -5Psin5t + 5Qcos5t) + 50(Pcos5t + Qsin5t) = 10cos(5t)
cos5t(-50P + 260Q + 50P - 10) + sin5t(-50Q - 260P + 50Q) = 0
Dat geeft  P = 0  en  Q = 1/26 en als particuliere oplossing:  u(t) = 1/26sin5t
De algemene oplossing is daarmee geworden:  u(t) = A e-t + B e-25t + 1/26sin5t
u
(0) = A + B = 0,2
u'(0) = -A - 25B + 5/26 = 0
Samen geeft dat  B = -0,00032  en  A = 0,20032, en dat ziet er z uit:
       

       
Een paar dingen vallen misschien op:

Alhoewel de aandrijvende kracht de frequentie ω = √(c/m) heeft, is er nu geen sprake van resonantie.

We weten al dat de oplossing van het homogene deel (de niet-aangedreven oscillator) naar nul gaat.
Dat betekent dat de totale oplossing voor u(t) voor grotere t gelijk zal worden aan de particuliere oplossing.
Je ziet dat in de grafiek hierboven vrij snel gebeuren.
Die particuliere oplossing heeft daarom ook wel de "steady-state" oplossing.
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)