Oppervlakte ruimtelijk.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laten we een bekende figuur nemen: een   kegel.

We nemen er eentje met hoogte 8 en straal van grondvlak 6.
Als we daar de oppervlakte van willen uitrekenen dan kunnen we hem in allemaal ringetjes snijden met hoogte dh  en straal r
Als je zo'n ringetje "uitvouwt"  krijg je (ongeveer) een rechthoek (niet helemaal: de zijkanten lopen heel ietsje scheef maar als die ringetjes maar dun genoeg zijn, dan kun je dat wel verwaarlozen.
De lengte van zo'n rechthoekje is 2πr, de breedte noemen we voorlopig dB

Maar in de rechterfiguur hiernaast zie je dat  (8-h)/r = 8/6
Daaruit volgt  6(8 - h) = 8r  ⇒  48 - 6h = 8r  ⇒ r = 6 - 0,75h

Kunnen we de breedte dB van zo'n ringetje ook uitdrukken in h?
Hiernaast zie je een detailtekening. Die schuine lijn dB heeft dezelfde helling als de rand van de kegel in het vooraanzicht, en die heeft lengte 10 (Pythagoras)
Dus uit gelijkvormigheid geldt:  8/10 = dh/dB
Dus  dB =  1,25dh

Dan wordt de oppervlakte van zo'n strookje gelijk aan  2π(6 - 0,75h)•1,25dh  

Voor de som van al die ringetjes moet je uiteraard een integraal opstellen:

   
De algemene aanpak is dus:  

Verdeel de oppervlakte op een symmetrische manier in stroken met dikte dx
Schrijf de oppervlakte van één zo'n strook op
Maak een integraal om al die stroken bij elkaar op te tellen.

   
Werkt dat ook bij gebogen oppervlakten?
   
Jazeker, alleen zit je een beetje met die dB. Die is dan "krom".

Neem het stuk van de grafiek  y = √x tussen x = 0 en x = 4. Als je dat om de x-as wentelt krijg je een zogenaamde "paraboloïde" zoals hiernaast geschetst.

Een schijfje heeft in deze figuur omtrek  2πh = 2πx
De breedte is dB
In het figuurtje onderaan zie je dat dat de lengte van de grafiek van y(x) is.
Maar daar hebben we in een eerdere les al een formule voor afgeleid!!!
 
 
Dat geeft voor de oppervlakte van de paraboloïde:
Nou ja, je kunt hem vast nog wel vereenvoudigen, maar ik denk dat ik de primitieve toch niet kan vinden. Ziet er veel te moeilijk uit. Dit lijkt me typisch een taak voor mijn GR!
Invoeren bij Y1=  en dan calc - integraal  geeft mij een oppervlakte van  ongeveer 46,1.
   
Voor degenen die van formules houden, we hebben eigenlijk dit gedaan:

oppervlakte van een omwentelingslichaam om de x-as:

   
  OPGAVEN
1. De oppervlakte van een bol.
  Benader door een integraal uit te rekenen de oppervlakte van een bol met straal 6.
2. Bereken de oppervlakte van de lampenkap hiernaast met behulp van een integraal.

3.
Gegeven is de functie  f(x) = 2 - √x  met domein  [0,4]
Je kunt de grafiek van f om de x-as wentelen, maar ook om de y-as.
a. Onderzoek hoeveel de inhouden van de omwentelingslichamen die je dan krijgt van elkaar verschillen
   
b. Bereken door zelf een integraal op te stellen de buitenoppervlakte van het omwentelingslichaam dat ontstaat bij wentelen om de x-as. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
4. Gabriëls trompet.

Hierboven staat een omwentelingslichaam dat je kunt krijgen door de grafiek van y = 1/x van x = 1 tot x = oneindig te wentelen om de x-as.
a. Toon aan dat de inhoud van deze trompet gelijk is aan π.
     
b. Beredeneer door een integraal op te stellen dat de oppervlakte van deze trompet oneindig groot is.
     
  c. Huh?  Een figuur met eindige inhoud maar oneindige oppervlakte?
Dus alle verf die je er in giet is niet genoeg om de oppervlakte te verven? Terwijl het toch ook overal tegen de binnenkant aan zit! Hoe kan dat?
     
5. Gegeven is het parabooldeel  y = 4x - x2  met domein [0,4]
Dit parabooldeel wordt gewenteld om de x-as.
Bereken de oppervlakte van het lichaam dat je dan krijgt. Doe dat door zelf een integraal op te stellen.
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
 

127,12

     
6. De grafiek van y = 2 - √x   voor  0 < x < 4  wordt gewenteld om de y-as.

Bereken de oppervlakte van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.

   

8/3π

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)