© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
1. Peter is een middelbare school leerling en heeft zijn komende wiskundetoets ruim van te voren perfect geleerd!
Hij kent de stof voor 100% en haalt op een proeftoets die hij maakt inderdaad een 10,0!!!
Maar twee dagen later doet hij nog een keer zo'n proeftoets en nu haalt hij maar een 8,3!
Kennelijk kent hij nu nog maar 83% van de stof, en is hij de rest vergeten (Neem aan dat het cijfer dat je haalt altijd precies het percentage van de stof is dat je kent).
  Verdere tests de volgende dagen leveren hem de tabel hiernaast.
Peter stelt de volgende formule op:   C(t) = 10 • 0,91t
(C = cijfer, t = tijd in dagen).
dag cijfer
0
2
4
6
8
10
10,0
8,3
6,9
5,7
4,7
3,9
     
  a. Toon aan dat `vergeten` een exponentieel proces is, en leg uit hoe je deze formule kunt afleiden.
     
  b. Hoeveel uur van tevoren moet Peter de stof perfect kennen (100%) als hij op de toets een 7,5 wil halen?
       

3,05 uur

  c. Hij leert samen met zijn vriendin Marion, die als zij stopt met leren elke dag 7% blijkt te vergeten.
Als ze stoppen met leren kent Peter de stof voor 100%, en Marion voor  75%
Onderzoek hoe lang het zal duren totdat beiden evenveel van de stof weten?
       

13,23 uur

         
2. In de stille oceaan liggen twee eilanden in de buurt van een, naar men denkt, uitgedoofde vulkaan. 
Op eiland A wonen nu 5000 mensen en op eiland B wonen nu 3000 mensen. 
Eiland B ligt vlak naast de vulkaan. We bevinden ons nu in het jaar 1991.
         
  a. De bevolking van A groeit met een verdubbelingstijd van 45 jaar. Bereken de jaarlijkse groei in procenten.
       

1,55%

  b. De bevolking van B groeit met een factor 1,021 per jaar. Geef de formule die de bevolkingsgrootte van B geeft als functie van de tijd t (met t = 0 in 1991)
         
  Dan gebeurt er in 2081 een ramp: de vulkaan barst uit!
Eiland A blijft gespaard, maar op eiland B komt 30% van de bevolking om het leven. Na de uitbarsting gaat de groei op eiland B weer gewoon door als voorheen.
         
  c. Welk van beide eilanden heeft in 2136 de meeste inwoners?
       

eiland B

         
3. Een konijnenliefhebber houdt een groot aantal konijnen en merkt dat het er door de jaren heen steeds meer worden.
Er blijkt te gelden:  N(t) = 20 • 1,4t
N is het aantal konijnen, t het aantal jaren met  t = 0 op 1 januari  1992.
Je mag in deze opgave aannemen dat het aantal konijnen niet een geheel getal hoeft te zijn.
         
  a. Hoeveel konijnen komen er de eerste 5 jaar gemiddeld per jaar bij?
       

17,6

  Het konijnenvoer wordt elk jaar 5% duurder. 1 januari 1992 kostte het 10,- per kilo.
         
  b. Geef een formule voor de prijs P per kilo als functie van het aantal jaren t.
         
  c. In hoeveel jaar zal de prijs vertienvoudigen?
       

47,19

  d. Elk konijn eet per jaar 10 kg voer.
Geef een formule voor de totale kosten (K) die de konijnenliefhebber per jaar aan voer kwijt is.
Leg duidelijk uit hoe je deze formule kunt opstellen uit de formules voor P en N, en wat de groeifactor van K wordt.
         
4. Het afbreken van alcohol in het bloed gebeurt met een halveringstijd van 50 minuten.
Dat geeft een groeifactor van  g = 0,9862 per minuut
         
  a. Toon dat aan.    
         
  In een glas bier zit 10 ml alcohol. Neem voor het gemak aan dat het drinken van bier geen tijd kost (dus in één teug het hele glas leeg)
         
  b. Derk Gesink neemt om 20.00 uur een glas bier. Derk is een nette jongen die één glas per avond meer dan genoeg vindt.  Hoe laat zit er nog 2 ml alcohol in zijn bloed?
       

21:56

  c. Inge Welbergen is een heel ander type. Ook zij drinkt om 20.00 uur haar eerste glas, maar ze drinkt door. Elk half uur neemt ze weer een glas.
Hoeveel ml. alcohol zit er om 21.40 in haar bloed?
       

20,74

  d. Richard Roggeveld pakt het weer heel anders aan: hij bestelt om 22.00 uur in één keer een heel blad vol bier en drinkt dat helemaal in één teug op!
Daarna zit hij de rest van de avond wat bleek in een hoekje.
De volgende morgen om 8.00 uur blijkt er nog steeds ongeveer 0,03 ml. alcohol in zijn bloed te zitten.  Hoeveel glazen bier stonden er op het blad?
       

12 glazen

         
5. Een kalmeringsmiddel heeft als bijwerking dat het denkvermogen negatief wordt beïnvloed. Die negatieve bijwerking is er niet als er 5 mg of minder van de stof in het lichaam actief is.
Eén tablet bevat 15 mg, maar het lichaam breekt deze stof af.
         
  a. Bereken de groeifactor van dit proces als na 10 uur nog maar de helft over is.
       

0,933

  b. Iemand heeft donderdagochtend om 10.00 uur een proefwerk Wiskunde. Tegen de zenuwen neemt hij een tablet in. Op welk tijdstip kan hij dat uiterlijk doen als zijn denkvermogen tijdens het proefwerk niet nadelig beïnvloed mag worden?
       

18:09

         
6. De dikte van de ozonlaag neemt de laatste tijd onrustbarend af, vooral door het gebruik van drijfgassen in spuitbussen. Metingen leverden de volgende tabel:
         
 
jaar dikte in m
1980
1981
1982
1983
1486
1441
1398
1356
jaar dikte in m
1984
1985
1986
1987
1316
1276
1238
1201
         
  a. Bewijs dat deze afname exponentieel is en geef een formule voor de dikte (D) als functie van de tijd t (in jaren met t = 0 in 1980)
         
  b. In hoeveel tijd halveert de dikte van de ozonlaag?
       

22,76 jaar

  Ozon is nuttig omdat het de schadelijke UV-straling van de zon absorbeert. 
Het blijkt dat elke meter dikte 0,01% van de er op vallende straling tegenhoudt.
         
  c. Bereken in welk jaar er voor het eerst minder dan 5% van de UV-straling van de zon zal worden geabsorbeerd.
       

2014

         
7. Een nogal wiskundig echtpaar gaat bevallen van een baby. Ze houden nauwkeurig tijdens de zwangerschap het gewicht van het embryo in de gaten, en vinden tussen de 10e en de 20e week de stippen in de grafiek hiernaast.

Het valt hen op dat het gewicht in deze periode bijna exponentieel verloopt. De exponentiële rode grafiek hiernaast past goed bij de gevonden meetwaarden.

Het lijkt erop dat die grafiek precies door het eerste en laatste meetpunt gaat.
Na 10 weken was het gewicht 3,8 gram, en na 20 weken was het 298 gram.

  Stel een formule op van de exponentiële grafiek die precies door deze twee meetpunten gaat.
         
8. Examenopgave.

In een laboratorium onderzoekt men een aantal exemplaren van een levend organisme. Elk exemplaar bevindt zich in toestand A (de ontwikkelingsfase) of in toestand B (de voortplantingsfase) en elk van deze fasen duurt ongeveer 4 uur, tenzij het exemplaar voortijdig dood gaat.
Bij een onderzoek naar 175 exemplaren kwam men tot het volgende resultaat:
Van de 99 exemplaren in toestand A waren er na 4 uren 20 doodgegaan;  de andere 79 waren overgegaan naar toestand B. Van de 76 exemplaren in toestand B waren er na 4 uren geen meer over; ze hadden intussen wel 118 nakomelingen in toestand A voortgebracht.
Neem aan dat het voortplantings- en sterfpatroon van dit organisme constant zo doorgaat.
         
  a. Bereken het aantal exemplaren in de toestanden A en B na 8 uren.
       

122 en 94

  b. Toon aan dat voor het totale aantal exemplaren de groeifactor per 8 uren in twee decimalen nauwkeurig gelijk is aan 1,24.
         
  Neem in het volgende aan dat de groeifactor per 8 uren precies gelijk is aan 1,24.
In het kweekbedrijf van de organismen wordt een populatie van 100 exemplaren aangehouden. Elk etmaal stuurt men zoveel exemplaren naar het laboratorium voor experimenten dat men er weer 100 overhoudt voor de kweek.
         
  c. Bereken het aantal exemplaren dat zo gemiddeld per etmaal voor onderzoek beschikbaar komt.
       

91

  Een onderzoeker beschikt over een populatie van 60 exemplaren, maar hij heeft er 200 nodig. Hij besluit met zijn experiment te wachten tot zijn populatie groot genoeg is.
         
  d. Bereken hoeveel uren hij zal moeten wachten.
       

45 uur

         
9. Bloed lijkt onder water groen. Echt waar!!
Hoe komt dat?
In lucht kaatst bloed vooral rood licht terug, en een klein beetje groen. Onder water gebeurt dat ook, maar het rode licht wordt door water veel sterker geabsorbeerd dan het groene. Wat ons oog bereikt is vooral het groene licht.
Stel dat elke meter water van rood licht 30% absorbeert en van groen licht 20%
In "gewoon"  licht zijn alle kleuren even sterk vertegenwoordigd.
Stel verder dat bloed van het rode licht 90% weerkaatst en van het groene 40%

Vanaf welke afstand onder water zal bloed er dan meer groen dan rood gaan uitzien?
       

6,1 meter

         
10. GHB is een vreemd goedje...
GHB is de afkorting voor gamma-hydroxybutyraat. Het wordt ook wel (ten onrechte) liquid XTC genoemd. Met XTC heeft GHB echter niets te maken. GHB is een stof die van nature voorkomt in het lichaam, met name in de hersenen.
Een vol buisje GHB bevat 5 ml. De concentratie van de vloeistof varieert tussen de 450 en 700 mg/ml. De vloeistof wordt meestal toegevoegd aan frisdrank, vruchtensap of water en daarna opgedronken. Neem nooit meer dan 2,5 ml (half buisje), want een hoeveelheid van 2 gram GHB kan al een overdosis zijn, en ervoor zorgen dat je helemaal "out" gaat.

Je lichaam breekt GHB gelukkig ook weer af.
De effecten van één zo'n dosis houden ongeveer anderhalf uur aan. Na 6 uur zijn er geen sporen van GHB meer terug te vinden in het lichaam.

Neem aan dat je lichaam elk uur 60% van het in je bloed aanwezige GHB afbreekt.
         
  a. Toon aan dat er dan na 6 uur bij iemand die een half buisje heeft ingenomen, afhankelijk van de concentratie van de vloeistof, nog ongeveer tussen de 4,6 en de 7,2 mg GBH in je lichaam aanwezig is.
         
  Je merkt dat de GHB raakt uitgewerkt bij minder dan 500 mg in je bloed.
         
  b. Bij welke beginconcentratie zal dat na ongeveer 80 minuten na inname van een half buisje het geval zijn?
       

678 mg/l

  Als je een half buisje GHB hebt genomen en na 1,5 uur van plan bent een tweede dosis te nemen, omdat het al een tijdje uitgewerkt raakt, dan raadt men aan als tweede dosis nooit meer dan 1,25 ml bij te nemen.
         
  c. Laat zien dat er bij hoge concentraties anders meer dan 2 gram GHB in je lichaam zou kunnen komen.
         
  d. Als je op een gegeven moment inderdaad nog 500 mg in je bloed hebt, en je neemt inderdaad verstandig 1,25 ml bij, hoe lang zal het dan duren voordat je merkt dat ook die uitgewerkt raakt als het weer hoge concentratie GHB is?
       

1,19 uur

         
11. Er zijn vele soorten glas te krijgen. Getint glas is glas "met een kleurtje" en dat laat minder licht door dan gewoon glas.
Een firma verkoopt 5 soorten getint glas, genaamd G1, G2, G2, G4 en G5.
Die soorten glas absorberen per millimeter dikte 1%, 2%, 3%, 4% en 5% van het licht (en laten dus 99%, 98%, 97%, 96% en 95% door)
Al deze vijf soorten zijn te krijgen in de standaarddiktes 10, 12, 15, 19 en 24 millimeter. 

Ik ben op zoek naar een raam dat minstens 50% van het licht doorlaat.
Uit welke combinaties van diktes/soorten glas kan ik dan kiezen?
         
12. Hieronder zie je een bundel grafieken. Elke grafiek laat de groei van een kapitaal van €10000,- zien bij een bepaald rentepercentage. Op de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. 
         
 

         
  a. Lees af na hoeveel jaar het kapitaal verdubbeld is bij een percentage van 8%.
Geef ook een exacte berekening van deze verdubbelingstijd.
       

9,01 jaar

  Ik beleg €10000 gedurende 10 jaar, maar de eerste 5 jaar haal ik een rendement van 6% (per jaar) en de tweede 5 jaar een rendement van 20% (per jaar). 
         
  b. Geef in de figuur de groei van mijn kapitaal aan.    
         
  c. Bereken mijn eindkapitaal.    
       

33299,33

         
13. Het bedrijf Telfort heeft bijgehouden hoeveel mobieltjes er in een bepaald jaar onder haar klanten aanwezig waren, en ook hoeveel gesprekken er met in dat jaar met die mobieltjes gevoerd werden. Dat leverde de volgende tabel:
         
 
jaar aantal mobieltjes aantal gesprekken
1985
1990
1995
2000
240
709
2095
6191
6022
20270
68225
229627
         
  Men ontdekte dat voor het aantal mobieltjes (M) de volgende formule geldt:    M(t) = 240 • 1,242t
Daarin is t de tijd in jaren met t = 0 voor 1985.
         
  a. Laat duidelijk zien hoe je het getal 1,242 uit de formule met behulp van de tabel zou kunnen berekenen. Leg eerst duidelijk uit hoe uit de tabel volgt dat de groei van het aantal mobieltjes exponentieel is.
         
  b. Bereken de verdubbelingstijd van het aantal mobieltjes
       

3,20

  Ook voor het aantal gesprekken (G) heeft men een formule afgeleid, namelijk:    G(M) = 13 • M1,12
         
  c. Hoe kun je aan deze formule zonder berekeningen te maken zien dat het aantal gesprekken per mobieltje toeneemt?
       

1,12 > 1

  d. In welk jaar zal het aantal gesprekken voor het eerst meer dan 10 miljoen zijn? Geef een exacte berekening.
       

2015-2016

  e. Iemand leidt de volgende formule af:     6022 • 1,275t
Leg duidelijk uit hoe deze formule is af te leiden uit beide bovenstaande formules
         
14. Kees gaat bij een nieuw bedrijf werken met een bepaald beginsalaris. Elk jaar zal dat salaris met een vast bedrag verhoogd worden. Na 5 jaar werken zal hij €1600 verdienen en na 10 jaar werken €2200,-
         
  a. Geef een formule voor zijn salaris (S) als functie van zijn aantal dienstjaren (t)
         
  Zijn vriendin Carla begint tegelijkertijd bij een ander bedrijf te werken.
Voor haar salaris zal gelden:  C(t) = 700 • 1,12t
     
  b. Bereken wanneer Carla  €3000 zal verdienen.
       

t = 12,84

  c. Bepaal wanneer Kees en Carla ongeveer evenveel zullen verdienen.
       

t =10,2

  d. Na 20 jaar zal Carla meer verdienen dan Kees. Bereken hoeveel opslag Kees elk jaar had moeten krijgen om na 20 jaar evenveel als Carla te verdienen.
       

287,62

  e. Na 5 jaar verdient Kees meer dan Carla. Bereken hoeveel procent opslag Carla per jaar had moeten krijgen om na 5 jaar evenveel als Kees te verdienen.
       

17,98%

         
15. Gegeven is vierkant ABCD met zijden 8 cm. In dit vierkant wordt een kleiner vierkant PQRS getekend zodat AP = BQ = CR = DS = 1/4 • AB
Op dezelfde manier wordt in PQRS wéér een kleiner vierkant getekend. De hoekpunten van een nieuw vierkant liggen steeds op een kwart van de zijden van het vorige vierkant.
Dit proces wordt voortdurend herhaald en levert de figuur hiernaast op.
Te beginnen bij ABCD nummeren we de vierkanten 1, 2, 3 enz.

     
  a. Leg duidelijk uit waarom de oppervlakte O van vierkant nummer n in cmvoldoet aan   O(n) = 64 • 0,625n
         
  b. Bereken voor welke n de oppervlakte van vierkant n voor het eerst kleiner is dan 1 mm2
       

nummer 19

  c. Iemand anders voert het zelfde proces uit, maar begint met een groter vierkant dan ABCD. Vierkantje nummer 25 heeft bij hem zijden van 1 mm. Bereken hoe groot zijn oorspronkelijke vierkant was.
       

35,6 × 35,6

         
16. De bank Icesave uit IJsland maakte gebruik van een vreemde spaarvorm om klanten aan te moedigen hun geld langer op de bank te zetten. Over het eerste jaar gaf men 1% rente, over het tweede jaar 2%, over het derde jaar 3%  enz. Elk jaar dus een procent meer.
         
  Met hoeveel procent per jaar komt dat overeen als je een bedrag voor 6 jaar op de bank wilt zetten?
       

3,49%

     
17. Kijk eens naar de volgende rij figuurtjes, daar zit een mooie regelmaat in:
         
 

         
  Wat van figuur 1 naar 2 gebeurt, dat gebeurt overal! Je vindt steeds de volgende figuur door elke lijnstuk van de vorige te vervangen door 5 nieuwe lijnstukjes zoals in figuur 2 voor het eerst is gebeurd.
Als je alsmaar zo doorgaat krijg je steeds gecompliceerdere vorm, en die heet een fractal.
         
  a. Geef een formule voor het aantal lijnstukjes A(n) in figuur nummer n en bereken wanneer dat voor het eerst  meer dan 1 miljard zal zijn.
       

nr. 14

  b. Neem aan dat het eerste lijnstuk een lengte van 12 cm heeft.
Geef een formule voor de totale lengte L(n) van alle lijnstukjes van figuur nummer n en bereken wanneer de totale lengte voor het eerst meer dan 10 km zal zijn
       

nr. 24

18. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2004.
         
  Nederland is een echt spaarland. Jaarlijks worden er miljarden euro's gestort op spaarrekeningen. Er zijn verschillende soorten spaarrekeningen. In deze opgave bekijken we er drie: de groeirekening, de depositorekening en de renteklimrekening.
We storten op elk van de drie spaarrekeningen ene bedrag van 10 000 euro dat voor een periode van 10 jaar op de spaarrekening blijft staan.

Groeirekening.
De groeirekening is de bekendste soort. Het rentepercentage op deze rekening is 3,5% per jaar. Het is een 'rente-op-rente' rekening: na een jaar wordt de rente bijgeschreven op de rekening, zodat het volgende jaar rente wordt berekend over een hoger bedrag, enzovoort. Na elk jaar wordt het bedrag op de rekening dus hoger. Het bedrag G dat na t jaar op de groeirekening staat kun je berekenen met de formule:  G = 10000 • 1,035t

Het bedrag op de groeirekening is na 10 jaar nog niet verdubbeld. Maar als je de rekening nog langer laat doorlopen, komt er een jaar dat het bedrag op de rekening voor het eerst twee keer zo hoog is geworden. Het bedrag is dan zelfs nog iets hoger dan 20 000 euro

         
  a. Bereken na hoeveel jaar dat is.
       

21 jaar

  Depositorekening.
De depositorekening is een spaarrekening met een rentepercentage van 4,0% per jaar. De rente over elk jaar is 400 euro. Dat bedrag wordt steeds bijgeschreven op een aparte betaalrekening. Op de betaalrekening krijg je geen rente zodat het bedrag op de betaalrekening lineair toeneemt.

Een rente van 4,0% lijkt gunstiger dan een rente van 3,5%. Toch heb je na 10 jaar bij de depositorekening in totaal minder rente gekregen dan bij de groeirekening. Een bank introduceert een nieuwe depositorekening die in tien jaar evenveel rente oplevert als de groeirekening.

         
  b. Bereken het rentepercentage per jaar van die nieuwe depositorekening. Geef je antwoord in één decimaal.
       

4,11%

         
19. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2005
         
  Kernenergie levert weinig afval op, maar het is wel afval dat speciale aandacht vereist. Het is namelijk radioactief en het blijft nog tientallen jaren warmte afgeven. In 2003 is in Zeeland een gebouw geopend waar de komende 100 jaar kernafval zal worden opgeslagen. Het gebouw heet HABOG, Hoogradioactief Afval Behandelings- en Opslag Gebouw. In het HABOG wordt het afval van de kerncentrale van Borssele opgeslagen. Over 100 jaar zijn de radioactiviteit en de warmte van het afval zo veel afgenomen dat het afval op een andere plaats kan worden opgeslagen.
Het afval uit Borssele bestaat jaarlijks uit zes gasblokken met hoogradioactief afval. In het begin geeft zo'n blok evenveel warmte af als een kachel van 1800 Watt.
Na 100 jaar is de warmte-afgifte verminderd tot die van drie gloeilampen, ofwel 180 Watt
De warmteafgifte neemt exponentieel af.
         
 

         
  a. Bereken het percentage waarmee de warmteafgifte per jaar afneemt. Rond je antwoord af op 2 decimalen.
         
  Het gebouw is knaloranje geverfd. In grote groene letters zijn er beroemde formules van Einstein en Planck op aangebracht (zie foto). Elke tien jaar wordt het gebouw opnieuw geverfd, telkens in een iets lichtere tint om de afname van de warmteafgifte mee aan te geven.
Je mag er in de rest van deze opgave van uitgaan dat de warmteafgifte met 2,3% per jaar afneemt.
         
  b. Bereken het percentage waarmee de warmteafgifte in een periode van tien jaar afneemt. Rond je antwoord af op één decimaal.
         
  c. Bereken na hoeveel jaar de warmteafgifte nog maar de helft is van de oorspronkelijke hoeveelheid. Rond je antwoord af op één decimaal.
         
20. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2003

Een huisarts schrijft een patiënt een geneesmiddel voor. De patiënt moet dat geneesmiddel enkele weken achtereen gebruiken. Hij neemt één keer per week op maandagochtend één tablet van 500 mg van het medicijn in. De hoeveelheid medicijn in zijn bloed neemt exponentieel af. Na precies één week is nog 30% van de oorspronkelijke hoeveelheid medicijn aanwezig in zijn lichaam.

Uit de gegevens is te berekenen dat de groeifactor per 24 uur ongeveer 0,842 is.

         
  a. Schrijf deze berekening op.
         
  b. Bereken in hoeveel tijd 40% van het toegediende medicijn in zijn lichaam wordt afgebroken. Rond je antwoord af op een geheel aantal uren.
       

71 uur

  De patiënt neemt elke week een nieuwe tablet van 500 mg in. We nemen aan dat hij dat steeds na precies een week doet. De hoeveelheid medicijn in zijn lichaam neemt na inname weer exponentieel af met groeifactor 0,842 per 24 uur.
M(t) is de hoeveelheid medicijn in mg in zijn lichaam, t dagen nadat de eerste tablet is ingenomen. In de figuur hieronder is de grafiek van M als functie van t getekend van t = 0  tot  t = 9.
         
 

         
  c. Bereken de hoeveelheid medicijn in het lichaam op tijdstip t = 10. Rond je antwoord af op een geheel aantal milligrammen.
       

388 mg

  d. Schets in de figuur hierboven de grafiek van M van t = 9 tot net na de inname van de tablet op dag 21. Bereken hiervoor de maximale en minimale waarden van de hoeveelheid medicijn in het lichaam die wekelijks worden bereikt.
         
21. Het aantal leden van een sportbond is de laatste eeuw exponentieel toegenomen. In 1900 waren er nog slechts 2500 leden, maar elk jaar is er een groei van 2% geweest.
De contributie die die leden moesten betalen is echter óók exponentieel gestegen. In 1900 was de contributie gelijk aan (omgerekend) € 23,- en die is elk jaar 3% toegenomen.
Toon aan dat de totale hoeveelheid contributie die de penningmeester van de bond in een jaar binnenkrijgt óók een exponentiële functie is, en geef daarvan de beginwaarde en de groeifactor.
       

57500 • 1,0506t

         
22. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2011

Wanneer een werkwoord bij de vervoeging verandering van klinkers (a, e, i, …) vertoont, spreken we van een onregelmatig werkwoord.  Een voorbeeld hiervan is het werkwoord lopen, dat wordt vervoegd als lopen — liep — gelopen. Als dat niet zo is heet het werkwoord regelmatig.
Veel werkwoorden die tegenwoordig regelmatig zijn, waren vroeger onregelmatig. Onregelmatige werkwoorden hebben namelijk de neiging in de loop der tijd regelmatig te worden.

Wetenschappers turfden het aantal onregelmatige Engelse werkwoorden in drie verschillende perioden.
Van de 177 onregelmatige werkwoorden in het Oudengels (800 na Christus) waren er in het Middelengels (1200 na Christus) 145 nog steeds onregelmatig, en in het moderne Engels (2000 na Christus) nog maar 98.

Er geldt bij benadering dat het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden daalt volgens een exponentieel verband.

         
  a. Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het afnamepercentage per 100 jaar.
       

5%

  In werkelijkheid zijn er natuurlijk meer onregelmatige werkwoorden dan alleen die werkwoorden van het onderzoek. We nemen aan dat bij benadering het volgende verband tussen het totaal aantal Engelse onregelmatige werkwoorden W en het jaartal t geldt:   W = 432 • 0,9995t 
         
  b. Bereken met behulp van dit verband in welk jaar het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden nog maar 80 zal zijn.
       

3372

         
23. Examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2012

Jongeren hebben op hun 12e verjaardag een woordenschat van gemiddeld 17000. Na de 12e verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren: Bij het bereiken van de leeftijd van 21 jaar varieert deze van 45000 tot 150000.
Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de woordenschat exponentieel tot gemiddeld 150000 wanneer de leeftijd van 21 jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:

Wh = 17000 • 1,27t

Hierbij is t de tijd in jaren met t = 0 op de 12e verjaardag. 

         
  a. In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen. Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
       

1,274

 

Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren groeit de woordenschat lineair tot gemiddeld 45000 op hun 21e verjaardag.
Hiervoor geldt de volgende formule: 
Wl = at +
Hierbij is t de tijd in jaren met t = 0 op de 12e verjaardag.
Ga ook hierbij uit van een woordenschat van 17000 op de 12e verjaardag.

Met behulp van de formule Wl = at + b kan de woordenschat die jongeren met een lage woordenschat op hun 18e verjaardag hebben, berekend worden.
Vervolgens kan met behulp van de formule Wh = 17000 • 1,27t worden berekend hoeveel maanden eerder jongeren met een hoge woordenschat deze zelfde woordenschat zullen hebben.

         
  b. Bereken dit aantal maanden.
       

2,9 jaar

  c. In de praktijk gebruikt men graag formules waar de werkelijke leeftijd in voorkomt. Voor jongeren met een hoge woordenschat geldt de formule Wh = 17000 • 1,27t  (met t = 0 op de 12e verjaardag).
Schrijf deze in de vorm  Wh = B • gL
, waarbij L de werkelijke leeftijd is. Rond b af op tientallen.
         
24. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2013.

Paracetamol is een veelgebruikte pijnstiller, die in tabletvorm te koop is.
Voor volwassenen zijn er tabletten die 500 mg paracetamol bevatten. Op de bijsluiter staat onder andere het volgende vermeld.

         
 

Dosering
Volwassenen: één of twee tabletten van 500 mg per keer, maximaal zes tabletten per 24 uur.

Aanwijzingen voor het gebruik
De tabletten moeten met een ruime hoeveelheid water ingenomen worden. Het toedieningsinterval moet minstens 4 uur bedragen.

         
 

Na het innemen van een tablet wordt de 500 mg paracetamol beetje bij beetje in het bloed opgenomen. Tien minuten na het innemen van een tablet is de helft van de paracetamol opgenomen in het bloed. Ook daarna wordt iedere tien minuten de helft van de paracetamol die nog in maag en darmen zit, opgenomen in het bloed.

         
  a. Een volwassene neemt om 9.00 uur één tablet van 500 mg in.
Laat met een berekening zien dat na één uur ongeveer 492 mg paracetamol in het bloed is opgenomen.
         
 

De laatste 8 mg paracetamol in maag en darmen wordt niet in het bloed opgenomen. Na ongeveer een uur begint de hoeveelheid paracetamol in het bloed door afbraak in de lever weer af te nemen.
Hierbij past de volgende formule:  P =
492 • 0,84(t - 1) , met t 1

Hierin is P de hoeveelheid paracetamol in het bloed in mg en t de tijd in uren nadat de tablet is ingenomen.

Het pijnstillend effect is merkbaar zolang de hoeveelheid paracetamol in het bloed meer is dan 200 mg  

         
  b. Een volwassene neemt om 9:00 uur een tablet
Bereken op welk moment de tablet is uitgewerkt. Geef je antwoord in uren en minuten nauwkeurig.
       

15:10

  Een volwassene heeft veel last van pijn en neemt volgens het voorschrift elke vier uur een tablet in. In de figuur kun je voor een periode van 12 uur per tablet de hoeveelheid paracetamol aflezen die op een bepaald moment in het bloed opgenomen is.
         
 

         
  c. Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van de totale hoeveelheid paracetamol in het bloed.
         
  Bij flinke pijn mag een volwassene twee tabletten tegelijk innemen in plaats van één. Ook als er twee tabletten tegelijk ingenomen worden, geldt dat na ongeveer een uur de meeste paracetamol in het bloed opgenomen is. Het lichaam breekt de hoeveelheid paracetamol in het bloed wel wat langzamer af: iedere minuut wordt de hoeveelheid paracetamol in het bloed 0,2% minder.
         
  d. Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid paracetamol in het bloed per uur afneemt.
       

11,32

         
25. De intensiteit van radioactieve straling neemt af bij het passeren van een absorberende laag. Die afname is afhankelijk van het materiaal en de dikte van de laag en de intensiteit van de straling. Intensiteit van straling wordt uitgedrukt in de eenheid Curie.

Als I(x) de intensiteit is na het passeren van de absorberende laag van x (mm) dan blijkt te gelden:  I(x) = I0 gx

I0 is de intensiteit vooraf en g is een constante die afhangt van het soort materiaal. Staal heeft  g = 0,986.

         
  a. Als een bepaalde hoeveelheid straling op een stalen plaat van 2 cm dik valt, dan is de straling die er nog doorheen komt gelijk aan 6 Curie. Hoe groot was de intensiteit vóóraf?
       

7,95

  b. Een laag beton heeft g = 0,993 en blijkt 80% van de straling tegen te houden. Bereken hoe dik de laag is.
       

229 mm

  Hieronder zie je voor een aantal materialen de intensiteit tegen de dikte uitgezet. Zoals je ziet is de beginintensiteit steeds gelijk genomen aan 100. Op de y-as is gebruikt gemaakt van een logaritmische schaalverdeling.
         
   

         
  c. Bepaal de factor g voor ijzer zo nauwkeurig mogelijk.
       

0,9898

  d. Een radioactief preparaat met een strekte van 100 Curie is opgeslagen in een bunker die bestaat uit eerst 10 cm beton (g = 0,993)  daarna 10 cm staal (g = 0,986) en tenslotte nog een s 10 cm beton.
Bepaal met bovenstaande grafiek hoeveel straling er nog uit deze bunker ontsnapt.
       

6 curie

  e. Geef een berekening van je antwoord op vraag d)    
       

5,99 curie

26. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2016-I
         
  Een Gammacell is een apparaat dat onder andere gebruikt wordt bij onderzoek naar de bederfelijkheid van voedsel. De Gammacell is een stalen kast waarin zich de radioactieve stof cesium bevindt. Zie de foto.
De hoeveelheid radioactieve straling van cesium neemt jaarlijks met een vast percentage af en is na ongeveer 30 jaar gehalveerd.

     
  a. Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid radioactieve straling per jaar afneemt.
   

2,28%

  De tijd waarin de hoeveelheid straling tot de helft is afgenomen, wordt de halveringstijd genoemd. Soms wordt de volgende vuistregel gebruikt: 'Na tien keer de halveringstijd is het radioactieve materiaal zijn straling kwijt.'
Volgens deze vuistregel zou cesium dus na 300 jaar zijn straling kwijt zijn.
Dat is niet helemaal juist. Er is nog een klein beetje van de beginstraling over.
         
  b. Bereken hoeveel procent van de beginstraling er na 300 jaar nog over is.
       

0,09766%

 

Bij het bedrijf Covra in Borssele wordt radioactief afval verwerkt en opgeslagen. Bij dit bedrijf is een afgedankte Gammacell binnengekomen.
Het bedrijf moet ervoor zorgen dat er heel weinig straling vrijkomt wanneer de Gammacell wordt opgeslagen.

De stalen wand van de Gammacell laat 8% van de straling door die het cesium op het moment van binnenkomst heeft. Omdat dat te veel is, wordt de hele Gammacell ingepakt in beton. Van de straling die door het staal heen komt, wordt een percentage P door het beton doorgelaten. Dit percentage hangt af van de dikte van het beton.
Er geldt de formule:

         
   

   
         
 

Hierin is d de dikte van het beton in cm.

Het bedrijf moet de dikte van het beton zo kiezen, dat het staal en het beton samen 5% van de straling doorlaten die het cesium op het moment van binnenkomst heeft.

         
  c. Bereken hoeveel cm de dikte van het beton moet zijn. Rond je antwoord af op een geheel getal.
       

23 cm

27. Examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2016-I
         
  Gemiddeld duurt een zwangerschap bij de mens 38 weken. Een ongeboren kind van 8 weken of ouder wordt een foetus genoemd.
In de volgende tabel staat het (gemiddelde) lichaamsgewicht G in gram van een foetus bij een leeftijd van t weken.
         
 
Leeftijd t in weken Lichaamsgewicht G in gram
8 4,7
10 21
15 160
20 480
25 990
30 1700
35 2700
38 3500
         
 

In deze opgave willen we onderzoeken welk model er bij deze tabel zou kunnen passen.
Het eerste model dat we bekijken is dat van exponentiële groei:

G = b at  met a en b constanten.

Veronderstel dat de groei tussen week 8 en week 10 inderdaad exponentieel verloopt.

         
  a. Bereken met hoeveel procent per week het gewicht van de foetus dan toeneemt in die periode.
       

111 %

  Exponentiële groei is echter geen goed model voor de groei van de foetus in de gehele periode van 8 tot 38 weken. Dit kun je afleiden uit de tabel.
         
  b. Laat dat met een berekening zien.
         
28. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2017-I.
         
 

Het Great Barrier Reef voor de kust van Australië is het grootste en bekendste koraalrif ter wereld.
De totale oppervlakte van het rif is 345000 km2. Helaas is in de periode 1985-2012 veel koraal op het rif verdwenen, zo blijkt uit een Australische studie.

In 1985 was nog 97000 km2 van het rif bedekt met koraal. In 2012 was deze oppervlakte afgenomen tot nog slechts 13,8% van het rifoppervlak.

Je kunt berekenen dat de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt was in de periode 1985-2012 met ruim 50% is afgenomen.

         
  a. Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
       

50,9 %

  De onderzoekers waarschuwden in 2012 dat er nog meer koraal zou verdwijnen. Zij verwachtten dat als er niet zou worden ingegrepen, de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt is in de periode 2012-2022 opnieuw zou halveren.
Neem aan dat deze afname vanaf 2012 exponentieel zou zijn.
         
  b. Bereken met hoeveel procent de oppervlakte van het rif dat met koraal bedekt is dan jaarlijks zou afnemen. Geef je antwoord in hele procenten.
       

7 %

  De belangrijkste bedreigingen voor het koraal komen van tropische stormen en de doornenkroon, een grote zeester.
Als er geen doornenkronen zouden zijn en als we aannemen dat de schade door tropische stormen ongeveer gelijk blijft, zou het aantal km2
rif dat met koraal bedekt is met 0,89% per jaar kunnen toenemen.
         
  c. Bereken hoeveel jaar het dan zou duren totdat het aantal km2 rif dat met koraal bedekt is, voor het eerst weer met 50% zou zijn toegenomen.
       

46 jaar

29. examenvraagstuk VWO wiskunde C, 2018-II.
         
 

Vliegtuigen stoten veel vervuilend CO2 uit. Daarom moet de luchtvaart een belangrijke bijdrage leveren aan de vermindering van de CO2-uitstoot.
De CO2-uitstoot van vliegtuigen wordt gemeten in gram CO2
per zogeheten vliegtuigkilometer. Een vliegtuigkilometer is een afgelegde kilometer door een vliegtuigpassagier.

In de volgende figuur zie je vanaf het jaar 1970 de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer.

         
 

         
 

In deze figuur is te zien dat de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer sinds 1970 sterk daalt.

In de periode van 1980 tot 2010 is de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer vrijwel lineair gedaald van 250 tot 135 gram.

Neem aan dat deze lineaire daling zich zo voortzet.

         
  a. Bereken in welk jaar de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer dan voor het eerst onder de 50 gram zal komen.
       

2033

 

Het is niet waarschijnlijk dat de uitstoot lineair zal blijven dalen. Een realistischer model gaat uit van een daling die telkens minder sterk wordt tot een zekere grenswaarde is bereikt. Hiervoor geldt de formule:

C = 40 + a bt

Hierbij is C de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer in grammen en t in jaren met t = 0 in 1980.

         
  b. Bereken de waarden van a en b om dit model in overeenstemming te krijgen met de eerder gegeven waarden in 1980 en 2010. Geef in je antwoord a als een geheel getal en b afgerond op drie decimalen.
       

210 en 0.974

 

In bovenstaande figuur is goed te zien dat de aanvankelijk sterke daling van de jaren 70 steeds minder werd. Daarom wordt ook wel gerekend met een model waarin de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer in de periode van 1970 tot 2010 exponentieel is gedaald met 2,7% per jaar.

Deze daling zal niet het gewenste effect hebben. Het aantal vliegtuigkilometers per jaar stijgt exponentieel. Zie de figuur hieronder. En als het aantal vliegtuigkilometers per jaar blijft stijgen zoals het de afgelopen decennia heeft gedaan, zal de totale jaarlijkse CO2-uitstoot niet dalen maar blijven toenemen.

         
 

         
  Neem aan dat het aantal vliegtuigkilometers per jaar exponentieel blijft toenemen zoals in de periode van 1980 tot 2015 in deze figuur en dat de jaarlijkse gemiddelde CO2-uitstoot per vliegtuigkilometer blijft dalen met 2,7% per jaar.
         
  c. Bereken met hoeveel procent per jaar de totale jaarlijkse CO2-uitstoot dan stijgt in de komende jaren. Rond je antwoord af op één decimaal.
       

2,4%

         
       
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)