© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De factoren per twee dagen zijn achtereenvolgens:
8,3/10,0 = 0,83
6,9/8,3 = 0,83
5,7/6,9 = 0,83
4,7/5,7 = 0,82
3,9/4,7 = 0,83
Dat is steeds ongeveer gelijk dus is de groei exponentieel.
g2 = 0,83 geeft  g = 0,830,5 = 0,91
De beginwaarde (op dag 0) is 10,0
Samen geeft dat de gevraagde formule.
       
  b. 7,5 = 10,0 • 0,91t
Y1 = 7,5  en Y2 = 10,0 • 0,91^X  en dan intersect geeft  X = 3,05 dagen en dat is 3,05 • 24 = 73 uur.
       
  c. Marion vergeet 7% per dag dus haar groeifactor is 0,93
Voor Marion geldt de formule  C = 75 • 0,93t
Voor Peter geldt de formule  C = 100 • 0,91t
Y1 =  75 * 0,93^X  en  Y2 = 100 * 0,91^X  en dan intersect geeft  X = 13,23 dagen.
       
2. a. Verdubbelingstijd van 45 betekent  g45 = 2   g = 21/45 = 1,0155
Dat is een groei van 1,55%
       
  b. De beginwaarde is 3000, dus de formule wordt:  B(t) = 3000 • 1,021t
       
  c. Eiland A:    145 jaar groei:  A(t) = 5000 • 1,0155145 = 46511 mensen

Eiland B:   eerst is er 90 jaar groei met factor 1,021:   B(2081) = 3000 • 1,02190 = 19473
Daar komt in 2081  30% van om, dus blijft  70% over:  0,7 • 19473 = 13631
Dat groeit daarna nog 45 jaar met factor 1,021:   B(2136) = 13631 • 1,02145 = 34728 mensen.

Eiland A heeft in 2136 de meeste inwoners.

       
3. a. N(0) = 20
N(5) = 20 • 1,45 = 108
Dat is gemiddeld (108 - 20)/5 =  17,6 konijn per jaar.
       
  b. 5% duurder betekent groeifactor  1,05. De beginwaarde is 10
Dat geeft formule  P(t) = 10 • 1,05t
       
  c. 100 = 10 • 1,05t
Y1 = 100  en Y2 = 10 • 1,05^X  en dan intersect geeft  X = 47,2 jaar
       
  d. totale kosten = prijs per kg • aantal konijnen • hoeveelheid per konijn
K(t) = 10 • 1,05t •  20 • 1,4t • 10 = 2000 • (1,05 • 1,4)t = 2000 • 1,47t
De groeifactor wordt  1,47
       
4. a. g50 = 0,5  ⇒   g = 0,51/50 = 0,9862
       
  b B = 10  (ιιn glas)
2 = 10 • 0,9862t
Y1 = 2  en  Y2 = 10 * 0,9862^X  en dan intersect geeft  t = 115,82 minuten
Vanaf 20:00 uur is dat ongeveer om 21:56 uur
       
  c. 20:30:  er zit nu  10 • 0,986230 = 6,59 ml alcohol in haar bloed
Dat wordt 16,59 omdat ze weer een glas neemt.
21:00:  er zit nu  16,59 • 0,986230 = 10,935 ml alcohol in haar bloed.
Dat wordt  20,935 omdat ze weer een glas neemt.
21:30:  er zit nu  20,935 • 0,986230 = 13,798  ml alcohol in haar bloed.
Dat wordt 23,798 omdat ze weer een glas neemt.
21:40:   er zit nu  23,798 • 0,986210 = 20,71 ml alcohol in haar bloed.
       
  d. van 22:00 tot de volgende morgen 8:00 uur is  600 minuten.
0,03 = B • 0,9862600  ⇒  0,03 = B • 0,000239  ⇒  B = 125,35 ml
Dat zijn dus 12,5 glazen  ofwel  12 ΰ 13 glazen bier.
       
5. a. g10 = 0,5  ⇒   g = 0,51/10 = 0,933
       
  b. De eindhoeveelheid moet 5 zijn om geen nadelige invloed te hebben.
5 = 15 • 0,933t
Y1 = 5  en  Y2 = 15 * 0,933^X en dan intersect geeft  t = 15,84 uur
15,84 uur vσσr 10:00 uur is  18:10 de vorige avond.
       
6. a. De groeifactoren zijn achtereenvolgens;
1441/1486 = 0,97
1398/1441 = 0,97
1356/1398 = 0,97
1316/1356 = 0,97
1276/1316 = 0,97
1238/1276 = 0,97
1201/1238 = 0,97
Dat is allemaal gelijk dus de afname is exponentieel, en de groeifactor is g = 0,97.
de beginwaarde is (t = 0) gelijk aan  1486, dus de formule wordt  D(t) = 1486 • 0,97t
       
  b. 0,97t = 0,5
Y1 = 0,97^X en Y2 = 0,5  en dan interserct geeft  t = 22,76 jaar.
       
  c. als 0,01% wordt tegengehouden dan wordt   99,99% doorgelaten dus de groeifactor is per meter 0,9999
Noem de beginwaarde B = 100 (%)
Voor de hoeveelheid die wordt doorgelaten geldt dan   y = 100 •  0,9999D   waarin D de dikte van de laag is.
Neem voor D de formule uit vraag a):
   

    Voer deze formule in bij Y1, en neem  Y2 = 95  (5% geabsorbeerd)
intersect geeft  t = 34,92
Dat zal zijn in  2014
       
7. Een grafiek door (10, 3.8)  en  (20, 298)
de factor is  298/3,8 = 78,42  en dat is  g10  dus  g = 78,421/10 = 1,547
Vul bijv.  (10, 3.8) in:  3,8 = B • 1,54710  = B • 78,42   geeft   B = 3,8/78,42 = 0,0485
Dat geeft de formule   G(t) = 0,0485 • 1,547t 
       
8. a. Van A gaat kennelijk  20/99 • 100% = 20,2% dood en de rest (79,8%) naar toestand B
Van B gaat alles dood maar komen er 118/76 = 1,552 nakomelingen per exemplaar in toestand A

Nog 4 uur later zijn van de 118 in toestand A er  0,202 • 118 = 24 doodgegaan en dus 94 naar toestand B
Van de 79 in toestand B zijn er  79 • 1,552 = 123 nakomelingen gekomen in toestand A.
Dus na 8 uur is de situatie:  A= 123  en  B = 94
     
  b. Noem de hoeveelheid op t = 0  gelijk aan A0 en B0

Dan is  B4 = 0,798 • A0  en   A4 = 1,552 • B0

Dan is  B8 = 0,798 • A4 = 0,798 • 1,552 • B0 = 1,24 • B0
A8 = 1,552 • B4 = 1,552 • 0,798 • A0 = 1,24 • A0

Elke 8 uur worden de aantallen inderdaad met 1,24 vermenigvuldigd.
       
  c. Een etmaal is driemaal 8 uur.
Dan groeien 100 exemplaren aan tot  100 • 1,243 = 191 exemplaren
Er komen dus  191- 100 = 91 beschikbaar voor onderzoek.
       
  d. 200 = 60 • 1,24t
Y1 = 200   en  Y2 = 60 * 1,24^X  en dan intersect geeft  t = 5,596 periodes van 8 uur.
Dat is  5,596 • 8 = 44 ΰ 45 uur
       
9. Noem de beginhoeveelheden rood en groen licht  B = 100 (%)
Noem de diepte in meters D.

Van rood licht wordt 30% geabsorbeerd dus 70% doorgelaten dus  g = 0,70
De hoeveelheid die door bloed weerkaatst wordt is dan 90% van het totaal, dus  0,9 • 100 • 0,7D 

Van groen licht wordt 20% geabsorbeerd, dus 80% doorgelaten, dus  g = 0,80
De hoeveelheid die door bloed weerkaatst wordt is dan 40% van het totaal, dus  0,4 • 100 • 0,8D 

De hoeveelheden zijn gelijk als  0,9 • 100 • 0,7D  = 0,4 • 100 • 0,8D 
Y1 =  0,9 * 100 * 0,7 ^ X  en  Y2 =  0,4 * 100 * 0,8 ^X  en dan intersect geeft  X = D = 6.07 meter
Vanaf 6,07 meter onder water zal bloed er dan meer groen dan rood gaan uitzien. 
       
10. a. Als 60% wordt afgebroken blijft 40% over, dus g = 0,40
5 ml bevat tussen de 5 • 450 = 2250  en de  5 • 700 = 3500 mg GHB.
Een half buisje bevat dus tussen de 1125  en  1750

Bij beginwaarde  1125 is na 6 uur nog  2250 • 0,406 = 4,6 mg over.
Bij beginwaarde 1759 is na 6 uur nog  3500 • 0,406 = 7,2 mg over.
       
  b. 80 minuten is 1,33 uur
500 = B • 0,41,33  ⇒  500 = B • 0,295  ⇒  B = 500/0,295 = 1696 mg
       
  c. Bij een half buisje van hoge concentratie (1750 mg)  is er na 1,5 uur nog  1750 • 0,41,5 = 442,7 mg aanwezig.
Als je 1750 bijneemt (weer een half buisje) wordt dat  1750 + 442,7 = 2193 mg en dat is meer dan 2 gram.
       
  d. Er is nog 500 mg aanwezig en je neemt 1750/2 = 875 mg bij, dus heb je 1375 mg in je bloed.
Wanneer is er wιιr 500 in je bloed?
500 = 1317,7 •  0,4t
Y1 = 500  en  Y2 = 1375 * 0,4^X en dan intersect levert  t = 1,10 uur.
       
11. Er moet minstens 50% overblijven, dus moet gelden  gD > 0,50
Daarbij is g de groeifactor en D de dikte.
D = 10  geeft  g10 > 0,50   g > 0,501/10 = 0,93  dus dat lukt bij alle soorten
D = 12  geeft  g12 > 0,50 ⇒   g > 0,501/12 = 0,94  dus dat lukt ook bij alle soorten
D = 15  geeft  g15 > 0,50 ⇒  g > 0,501/15 = 0,954  dus dat lukt bij  G1, G2, G3 en G4
D = 19  geeft  g19 > 0,50   g > 0,501/19 = 0,964  dus dat lukt bij  G1, G2 en G3
D = 24  geeft  g24 > 0,50 ⇒ g > 0,501/24 = 0,971  dus dat lukt bij  G1 en G2.
       
12. a. y = 20000 (verdubbelen) en p = 8%  geeft ongeveer 9 jaar tijd.
p = 8% betekent g = 1,08
1,08t = 2
Y1 = 2 en Y2 = 1,08^X en dan intersect geeft  t =  9,006 jaar
       
  b.

       
    Volg eerst 5 jaar de 6%-lijn, en teken daarna een lijn evenwijdig aan de 20%-lijn.
       
  c. eerste 5 jaar:  B = 10000 • 1,065 = 13382,26
tweede 5 jaar:  B = 13382,26 • 1,205 = 33299,35
       
13. a.
jaar aantal mobieltjes
1985
1990
1995
2000
240
709
2095
6191
 
       
    factor  709/240 = 2,954  en  2095/709 = 2,955  en  6191/2095 = 2,955
Dat is allemaal ongeveer gelijk dus de groei is exponentieel.
Het zijn steeds stapjes van 5 jaar, dus  g5 = 2,955  ⇒  g = 2,9551/5 = 1,242
       
  b. 1,242t = 2
Y1 = 1,242^X  en Y2 = 2 en dan intersect geeft  t = 3,2 jaar
       
  c. De macht van M is 1,12 en dat is groter dan 1.
Als je dus door M deelt (aantal gesprekken per mobiel) blijft er nog  M0,12 over dus dat groeit.
       
  d. 10000000 = 13 • M1,12
M1,12 = 769231
M = 7692311/1,12 = 180056
180056 = 240 • 1,242t
Y1 = 180056  en  Y2 = 240 * 1,242^X  en dan intersect geeft  t =  30,55 jaar
Dat zal in het jaar  2015 zijn.
       
  e. G = 13 • M1,12
G = 13 • (240 • 1,242t)1,12
G = 13 • 2401,12 • (1,242t)1,12 
G = 6022 • (1,2421,12)t
G = 6022 • 1,275t
       
14. a. Het is een lineaire functie door  (5, 1600)  en  (10, 2200)
a = Δy/Δx = (2200 - 1600)/(10 - 5) = 120
1600 = 5 • 120 + b  geeft  b = 1000
De gezochte formule is  S = 120t + 1000
       
  b. 3000 = 700 • 1,12t
Y1 = 3000 en Y2 = 700 * 1,12^X en dan intersect geeft  t = 12,84 jaar na het begin.
       
  c. Y1 = 700 * 1,12^X en  Y2 = 1000 + 120X  en dan intersect geeft  t = 10,2 jaar na het begin.
       
  d. na 20 jaar verdient Carla:  700 • 1,1220 = 6752,40
Als Kees dat ook moet verdienen, moet gelden:   1000 + a • 20 = 6752,40
a • 20 = 5752,40
a = 287,62
       
  e. na 5 jaar verdient Kees  1000 + 5 • 120 = 1600
Als Carla dat ook moet verdienen, moet gelden:  700 • g5 = 1600
g5 = 2,2857
g = 2,28571/5 = 1,18
Carla zou dus 18% opslag per jaar moeten krijgen.
       
15. a. Stel dat ABCD zijden x heeft.
Dan is  AS = 0,75x  en  AP = 0,25x
Driehoek ASP heeft dan oppervlakte  0,5 • 0,75x • 0,25x = 0,09375x2
Vier zulke driehoeken hebben oppervlakte 4 • 0,09375 = 0,375x2
Dan blijft voor vierkant SPQR over:  x2 - 0,375x2 = 0,625x2
Dat is inderdaad de oppervlakte van ABCD vermenigvuldigd met factor 0,625.
De groeifactor is dus 0,625 en de beginwaarde is 64 (oppervlakte ABCD) dus de gegeven formule klopt.
       
  b. 1 mm2 = 0,01cm2
0,01 = 64 •0,625n 
Y1 = 0,625^X en dan TABLE geeft voor het eerst minder dan 0,01 bij n = 19
       
  c. Bij zijden van 1 mm is de oppervlakte  0,01cm2
0,01 = B • 0,62525
0,01 = B • 0,000007888
B = 1267,65 cm2 oppervlakte dus de zijden waren  √1267,65 = 35,6 cm.
       
16. de factoren zijn  1,01 en 1,02 en 1,03 en 1,04 en 1,05 en 1,06
samen geeft dat vermenigvuldigingsfactor  1,01 • 1,02 • 1,03 • 1,04 • 1,05 • 1,06 = 1,22825
dat is in 6 jaar, dus  per jaar is dan  g6 = 1,22825 ⇒  g = 1,228251/6 = 1,0348
Dat komt dus overeen met 3,5% per jaar.
       
17. a. Het aantal wordt steeds vermenigvuldigd met 5, dus de groeifactor is g = 5
De beginwaarde is 1, maar dat is nummer 1, dus nummer 0 zou lengte 1/5 = 0,2 hebben
Dus de formule wordt  A(n) = 0,2 • 5n

1000000000 = 1 • 5n
Y1 = 1000000000  en  Y2 = 0,2 • 5^X en dan intersect levert  n = 13,9
Bij n = 14 is het voor het eerst meer dan 1 miljard.
       
  b. Het aantal lijntjes gaat keer 5, maar de lengte van elk lijntje wordt 1/3.
De totale lengte wordt dan vermenigvuldigd met 5 • 1/3 = 12/3.
Nummer 1 heeft lengte 12, dus nummer 0 zou lengte  12/(5/3) = 7,2 hebben
De formule voor de lengte is  L(n) = 7,2 • (12/3)n

10 km is  1000000 cm
1000000 = 7,2 • (12/3)n
Y1 = 1000000 en  Y2 = 7,2 *  (12/3)^X  en dan intersect geeft  n = 23,18
Nummer 24 heeft voor het eerst lengte meer dan 10 km.
       
18. a. 20000 = 10000 • 1,035
Neem  Y1 = 10000 • 1,035 ^X en kijk in de tabel wanneer dit voor het eerst groter is dan 20000
Dat is zo bij t = 21 jaar  (dan is het namelijk ongeveer 20594)
       
  b. De groeirekening geeft na 10 jaar een bedrag  10000 • 1,03510 = 14105,99
Dat moet de depositorekening ook geven, dus in 10 jaar  4105,99 rente.
Dat is per jaar 410,60 dus dat is ongeveer 4,11%
       
19. a. 180 = 1800 • g100  ⇒  g100 = 0,1  ⇒  g = 0,11/100  ≈ 0,98
dat neemt dus af met 2% per jaar.
       
  b. een afname van 2,3% betekent dat er 97,7% overblijft, dus de groeifactor is 0,977
In 10 jaar 0,97710 ≈ 0,792... dus er blijft 79,2% over, dus de afname is 20,8%
       
  c. Stel de beginhoeveelheid 100, dan is de eindhoeveelheid 50
50 = 100 • 0,977t 
Y1 = 50 en Y2 = 100 • 0,997 ^ X
Window bijv. Xmin = 0, Xmax = 100, Ymin = 0, Ymax = 150
Intersect levert X ≈ 29,8 jaar
       
20. a. De groeifactor per week is  0,3
Een week is 7 perioden van 24 uur.
Als g de groeifactor per periode van 7 uur is, dan geldt dus  g7 = 0,3  dus  g = 0,31/7 = 0,841982...
       
  b. Als 40% wordt afgebroken is nog 60% over. Dat is  0,6 • 500 = 300 mg
Er moet dus gelden  300 = 500 • 0,842t  ⇒  0,842t = 0,6  ⇒  t = 0,842log 0,6 = (log 0,6)/log(0,842) = 2,970
Dat is  2,970 • 24 = 71 uur.
       
  c. Na de eerste week is nog  500 • 0,3 = 150 mg over.
Na inname van de tweede tablet is er 500 + 150 = 650 mg. Dat wordt vervolgens nog 3 dagen lang afgebroken.
De hoeveelheid wordt dan  650 • 0,8423 388 mg medicijn.
       
  d. Na de eerste week is nog  500 • 0,3 = 150 mg over. Daar komt 500 mg van de tweede tablet bij.
Dus dat wordt  650
Na de tweede week is 650 • 0,3 = 195 mg over. Met de derde tablet wordt dat  695 mg.
Aan het eind van de derde week is er nog  695 • 0,3 = 208,5 mg over
Na inname van de vierde tablet is er dus  208,5 + 500 = 708,5 mg medicijn.
Dat geeft de volgende tekening:
     
   

       
21. voor de leden:  g = 1,02  en  B = 2500  dus  L(t) = 2500 • 1,02t
voor de contributie:  g = 1,03  en  B = 23  dus  C(t) = 23 • 1,03t
Het totale inkomen van de penningmeester is  I = L • C = 2500 • 1,02t • 23 • 1,03t
I = 2500 • 23 • (1,02 • 1,03)t
I = 57500 • 1,0506t
Dat is inderdaad weer exponentieel met  B = 57500 en g = 1,0506
       
22. a. het gaat van 177 in jaar 800 naar 98 in jaar 2000
Dat is een factor  98/177 in 1200 jaar.
Per jaar is de groeifactor dan (98/177)1/12 = 0,95
Dat is een afname van 100 - 95 = 5%
       
  b. 80 = 432 • 0,9995t
Y1 = 80
Y2 = 432 • 0,9995^X
intersect geeft t = 3372
       
23. a. t = 0 op de 12e verjaardag betekent t = 9 op de 21e verjaardag
De eindhoeveelheid op de 21e verjaardag is 150000
dus geldt:  150000 = 17000 • g9  ⇒   g9 = 150000/17000 = 8,8235  ⇒  g = 8,82351/9 = 1,274
(dit laatste kan ook via intersect van de GR gevonden worden)
       
  b. Voor Wl = at + b geldt  a = ΔW/Δt = (45000 - 17000)/(21 - 12) = 3111,11
b is de beginwaarde en die is 17000
t = 6 geeft dan  Wl = 3111,11 • 6 + 17000 = 35667 = 17000 • 1,27t
Y1 = 35667  en  Y2 = 17000 * 1,27^X
calc - intersect geeft dan X = t = 3,1 jaar

Het verschil is dan 6 - 3,1 = 2,9 jaar en dat is 34,8 maanden.
       
  c. De werkelijke leeftijd is  L =  t  + 12  dus  t = L - 12
De formule wordt dan   W = 17000 • 1,27L - 12 
=  17000 • 1,27L •  1,27-12
= 17000 • 1,27L • 0,0568  
≈ 970 • 1,27L
       
24. a. De hoeveelheid wordt in ιιn uur zesmaal gehalveerd, dus zesmaal vermenigvuldigd met 0,5.
De eindhoeveelheid is dan 500 • 0,56 = 7,8125
De rest is opgenomen en dat is dus 500 - 7,8125 = 492,1875 en dat is inderdaad ongeveer 492 gram
       
  b. 492 • 0,84(t - 1) = 200
Y1 = 492 * 0,84^(X - 1)  en Y2 = 200 en dan intersect geeft  X = t = 6,16 uur.
Dat zal dus zijn om 10 minuten over 3.
       
  c. Tel de drie grafieken bij elkaar op.

Voor  t < 4 geeft dat gewoon de grafiek van tablet 1.

De rest van de grafiek zie je hiernaast (paarse grafiek). Een aantal punten zijn gemeten door de drie grafieken op te tellen.

       
  d. 0,2% afname betekent dat er 99,8% overblijft, dus de groeifactor per minuut is 0,998
Per uur is de groeifactor dan 0,99860 = 0,8868
De afname is dan  100 - 88,68% = 11,32%
       
25. a. 6 = B • 0,98620
6 = B • 0,754
B = 7,95 Curie
       
  b. 20 = 100 • 0,993d
0,993d = 0,20
d = log0,20/log0,993 = 229 mm
       
  c. De lijn gaat bijv. door (450, 1)
1 = 100 • g450
g450 = 0,01
g = 0,011/450 = 0,9898
       
  c. Zie de rode route hiernaast.
Eerst  vanaf I = 100  100 mm langs de betonlijn.
Dan recht opzij naar de staallijn
Volg de staallijn 100 mm naar rechts.
Weer opzij naar de betonlijn.
Volg de betonlijn nog 100 mm.

Aflezen groene pijl:  I  = 100,78 ≈ 6 Curie

     
  d. 0,993100 • 0,986100 • 0,993100 = 0,0599
Dus er is nog 100 • 0,0599 = 5,99 Curie over.
       
26. a. begin met 100% , dan is er na 30 jaar nog 50% over.
Dus  50 = 100 • g30
g30 = 0,5
g = 0,51/30 = 0,9772
Dat is een afname van 2,28% per jaar.
       
  b. Tien keer halveren betekent vermenigvuldigen met 0,510 = 0,0009766
dan is er dus nog 0,09766% over.
       
  c. De 8% moet worden teruggebracht tot 5%, dus het beton mag nog 5/8 deel doorlaten en dat is 62,5%
62,5 = 100/(1,021d)
Y1 = 62.5  en Y2 = 100/(1.021^X) en dan intersect geeft  X = d = 23 cm.  
       
27. a. in twee weken is de groeifactor  21/4,7 = 4,468
voor de g per week geldt dus  g2 = 4,468  dus  g = 4,4680,5 = 2,11
dat is een toename van 111% per week
       
  b. bijvoorbeeld:
tussen week 10 en 15 is de groeifactor  160/21 = 7,62
tussen week 30 en 35 is de groeifactor 2700/1700 = 1,59
Dat is niet gelijk, terwijl de tijdsverschillen wel gelijk zijn (5 weken) dus de groei is niet exponentieel.
       
28. a. 13,8% is 0,138 • 345000 = 47610 km2
47610/97000 • 100% = 49,08%  is nog over.
Dus de afname is 50,9% geweest.
       
  b. In 10 jaar halveren betekent  g10 = 0,5
Dan is  g = 0,51/10 = 0,933
Dat is een afname van 7%
       
  c. Een toename van 0,89%  betekent g = 1,0089
50% toenemen betekent dat 1,0089t = 1,5
Y1 = 1,0089^X
Y2 = 1,5
Intersect geeft  X = t = 45,76
Na 46 jaar is het voor het eerst weer met 50% toegenomen.
       
29. a. noem 1980 t = 0
Dan gaat de lineaire grafiek door (0, 250) en (30, 135)
a = (135 - 250)/(30 - 0) = -3,833...
De vergelijking is dus  C = -3,833t + 250
50 = -3,833t + 250
-3,833t = -200
t = 52,17....
In 2033 zal het voor het eerst onder de 50 zijn.
       
  b. C = 40 + a • bt
(0, 250) invullen geeft   250 = 40 + a • b0
Maar iets tot de macht nul is altijd gelijk aan 1, dus  250 = 40 + a  dus  a = 210  

(30, 135) invullen:  135 = 40 + 210 • b30
95 = 210 • b30
b
30 = 0,45238....
b
= 0,45238...1/30 = 0,974
       
  c. In 1980 waren er 1000 miljard vliegtuigkilometers en in 2015 waren er 6000 miljard
Dat is een stijging met een factor 6000/1000 = 6
Maar dat is in 35 jaar, dus per jaar is de factor  6(1/35) = 1,0525...

Een afname van 2,7% betekent dat er elke keer 100 - 2,7 = 97,3% overblijft, dus de factor is 0,973

Het aantal wordt dus per jaar vermenigvuldigd met 1,0525... en ook met 0,973
Samen is dat een vermenigvuldiging met 1,0525 • 0,973 = 1,0241...
Dat betekent een stijging met 2,4%
       
30. a. van 22 tot 46 toenemen betekent een factor  46/22 = 2,09...
Dat is in 4 periodes van 10 jaar dus  g4 = 2,09...
Dan is g = 2,09...1/4 = 1,2024...
Dat betekent een toename van 20,2% per 10 jaar
       
  b. Bij verdubbeling geldt  gt = 2
Dus 1,20t = 2
t = 1,20log(2) = log(2)/log(1,20) = 3,80178...
Dat zijn periodes van 10 jaar, dus na 39 jaar is het voor het eerst verdubbeld.
       
31. a. 20% kleiner betekent een groeifactor van 0,80
Voor de zevende pop is dus de eerste zes keer verkleind.
De zevende pop is dan  28 • 0,806 = 7,34 cm dus dat is 73 mm
       
  b. Het gewicht wordt verkleind met een factor  0,83 = 0,512
De zevende pop is dan vermenigvuldigd met 0,5126 = 0,018
Dat is 2% van de eerste pop
       
  c. De factor bij 50 keer verkleinen is  0,31/53,97 = 0,00574....
g50 = 0,00574  geeft  g = 0,005741/50 = 0,902
       
32. Van 5 naar 7 miljard is een factor  7/5 = 1,4
Maar dat is in 24 jaar.
Per jaar geldt dan  g24 = 1,4  dus  g = 1,41/24 = 1,0141184...
In 113 jaar (1987 tot 2100) is dat dan  1,0141184113 = 4,8755...
Dan zouden het aantal  5 • 4,8755... = 24,3775... miljard zijn in 2100
Het verschil is 24,3775 - 14,4 ≈ 10 miljard mensen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)