fractals

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Recursie

Stel dat je een vergelijking hebt die zegt hoe je een getal moet veranderen, om een nieuw getal te krijgen.
Een soort recept dus!
Als iemand bijvoorbeeld het volgende recept geeft:

Dan verandert met dit recept het getal 4 dus in 2. En het getal 12 verandert in 6.
Het wordt interessant als je het recept vaker toepast........

Als je bijvoorbeeld begint met het getal 1 en je past het recept toe, dan levert dat ¹/₂.
Maar als je op die ¹/₂ wéér hetzelfde recept toepast dan geeft dat ¹/₄
En daarna weer dit recept levert ¹/₈
Alsmaar doorgaan geeft de oneindige rij getallen 1 - ¹/₂ - ¹/₄ - ¹/₈ - ¹/₁₆ - ¹/₃₂- .....

Zo'n recept heet een recursievergelijking, en je ziet dat je met zo'n recursievergelijking en een begingetal een oneindige rij getallen kunt maken. Daarover gaan de S-hoofdstukken van deze lessenserie.

Recursie met figuren.

Maar zo'n recept kun je natuurlijk ook best geven bij een figuur!
Als je een beginfiguur hebt, en er een recept bij geeft hoe je een figuur moet veranderen om de volgende te krijgen, dan geeft dat een oneindige rij figuren.
Voorbeeldje:

Dat levert de volgende serie figuren op (als je de uitstulpingen tenminste steeds aan de buitenkant maakt, dat had die kok er best even bij kunnen zeggen):

Ik heb de figuren F1, F2, F3 genoemd, zoals je ziet.
Ga zo alsmaar door (oneindig lang, dus je bent wel even bezig ☺) en je krijgt een beroemde figuur: de "sneeuwvlok van Koch"

(OK, ik geef toe, dat inkleuren was niet echt nodig, dat heb ik alleen voor het mooi gedaan).

Als je deze figuur oneindig door zou laten gaan dan heet het resultaat daarvan een "fractal". Nou weet ik ook wel dat oneindig doorgaan niet te tekenen valt, dus een fractal bestaat eigenlijk alleen in theorie. Het is een soort goddelijke ideaalfiguur die door ons simpele stervelingen alleen te benaderen valt,...... maar wel zo nauwkeurig als we maar willen.

Uitbreiden in plaats van onderverdelen

Soms is het handiger om een fractal te tekenen door een figuur uit te breiden in plaats van onder te verdelen.
Een bekende fractal is bijvoorbeeld de Sierpinski-driehoek
Het recept daarvoor ziet er zó uit:

startfiguur:

recept:	vervang elke:	door:

En dat recept levert de volgende fractal op:

Maar in dit geval werkt het handiger om van klein naar groter te werken.
Het recept is dan:

Neem de fractal die je tot nu toe hebt:

Stapel er daar drie van op elkaar:

Blijf deze stappen herhalen en je krijgt de Sierpinski driehoek. Meer over deze driehoek komt later in deze les.

Hier zie je tot slot nog vier mooie fractals. Zomaar. Omdat ze mooi zijn.

Heb je al een beetje zin gekregen om ze zelf te gaan tekenen?
Mooi, dan zijn hier de opgaven:

OPGAVEN

De boom van Pythagoras.
Teken de volgende fractal:

Startfiguur:		Een vierkant.

Recept:

De draak.
Teken de volgende fractal:

Startfiguur:

Recept:
		(de hoek is 90º) Kleur daarna alle knooppunten om-en-om rood en groen, te beginnen met rood.

Als je de figuur lastig te maken vindt, kun je misschien deze werkbladen (WORD-bestanden) gebruiken.