De normaalvector van een vlak.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Tot nu toe hebben we erg veel zitten te prutsen met de richtingen van een vlak. Om de richting van een vlak aan te geven hadden we twee richtingsvectoren nodig.

Dat kan makkelijker!!!

Je kunt de richting van een vlak ook met n vector aangeven! Denk na! Welke vector bepaalt nou helemaal in n keer de richting van een vlak?
 

Natuurlijk; dat is de vector die er loodrecht op staat!!!    De normaalvector dus....
Die ene rode vector in de figuur hiernaast zegt eigenlijk evenveel over de richting van het vlak als al die blauwen bij elkaar....
       
Het bepalen van de normaalvector.

Voor het bepalen van de normaalvector van een vlak is het erg belangrijk dat je je beseft dat hij loodrecht staat op ALLE richtingen van het vlak. Voor het bepalen van het loodrecht op elkaar staan of niet van vectoren hadden we een aardige test. Weet je hem nog?  Deze test:
       

twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun inproduct nul is

       
Dan is het niet zomaar makkelijk te zien welke normaalvector met beiden inproduct nul maakt.
Daarom gaan we nieuwe richtingsvectoren maken, deze keer met nullen erin!
Ik hoop dat je nog weet dat elke combinatie van twee richtingsvectoren weer een richtingsvector is.
Nou, als je tweemaal die tweede vector neemt, en dat optelt bij de eerste, dan krijg je dus weer een richtingsvector. Maar wel eentje met een NUL erin!!
Nou we eenmaal een NUL hebben is het vinden van de normaalvector makkelijk.
Waarbij dat vraagteken dus nog alles mag zijn, immers dat vermenigvuldig je voor het inproduct toch met NUL.
Maar we weten dat de normaalvector ook nog loodrecht op een andere richtingsvector van het vlak moet staan:
Daaruit volgt  -10 + 4 + 4 ? = 0 ⇒  4 ? = 6  ⇒  ? = 1,5
De kentallen van de normaalvector zijn dus  -5 en 4 en 1,5.  Als je een hekel aan breuken hebt zou je er nog  -10, 8 en 3 van kunnen maken.
       
Normaalvector en vergelijking.
       
Bij lijnen tweedimensionaal bleek dat de kentallen van de normaalvector in de vergelijking ax + by = c stonden.  Dat blijkt 3D ook zo te zijn. We zullen dat eens op een andere manier bekijken.

Stel dat de steunvector van een vlak OP is, en dat Q een willekeurig ander punt van het vlak is. Als P het punt (x0, y0, z0) is en Q een willekeurig punt (x, y, z) dan is de vector PQ gelijk aan:
Maar omdat die vector in het vlak ligt staat hij loodrecht op de normaalvector. En dat betekent weer dat het inproduct van deze vector met de normaalvector nul is.
Stel dat de normaalvector de kentallen a, b, c heeft, dan geeft dat:
 ax - ax0 + by - by0 +cz - cz0 = 0
  ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0
  ax + by + cz = d
die d is gewoon weer een  nieuwe constante. En daar heb je het al:  de kentallen van de normaalvector zijn de getallen uit de vergelijking. Precies wat we al verwachtten.
 

De kentallen van de normaalvector staan in de vergelijking

 
Voorbeeld. 
Een vergelijking van een vlak is  2x - 6y + 3z = 12.  Geef een vectorvoorstelling.
Die twee zijn zo gekozen dat ze met de normaalvector inproduct nul geven.
Kies als steunvector een willekeurig punt van het vlak, bijvoorbeeld  (0, 0, 4), dan krijg je de vectorvoorstelling:
       
Voorbeeld.
Probeer eerst een nul te fabriceren met die richtingsvectoren. Bijvoorbeeld twee keer de eerste min de tweede.
Dat geeft  2 ? + 3 10 - 6 1 = 0  dus  ? = -12, en de normaalvector heeft kentallen  -12, 10 en 1.
Een vergelijking is dan -12x + 10y + z = d
Vul de steunvector in, en je vindt  d = -49. De gezochte vergelijking is  -12x + 10y + z = -49
       
       
OPGAVEN
   
1. Geef een vectorvoorstelling van de volgende vlakken:
         
  a. -3x + 5y - 6z = 20
         
  b. x + 7y - 4z = 12    
         
  c. 3x - 5z = 18    
         
2. Geef een vergelijking van de volgende vlakken:
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
3. Onderzoek of de volgende lijnen loodrecht op de volgende vlakken staan.
         
  a.
       

JA

  b. Vlak  2x - 3y + 6z = 12  en de lijn door   (3, 5, 8) en (-3, 14, 8)
       

NEE

         
4. Gegeven zijn de punten  O(0,0,0) en A(6,3,0) en B(0,6,3) en C(0,3,6)
P is de projectie van O op vlak ABC.
Toon aan dat P op lijn AC ligt.
         
5. Bereken a en b z dat de vlakken  2x - y + 2z + 6 = 0  en  ax + by - 4z = 0  evenwijdig zijn.
Bereken vervolgens de afstand tussen beide vlakken.
         
6. Gegeven zijn de punten P(6, 1, 0) en Q(4, 1, -2)
Geef een vectorvoorstelling van de verzameling van alle punten die gelijke afstand tot P en Q hebben.
         
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)