De Normaalvector.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De normaalvector van een gegeven vector is degene die er loodrecht op staat. Je snapt wel dat er voor zo'n normaalvector een heleboel mogelijkheden zijn, immers de lengte is onbelangrijk. Elke vector die loodrecht op een bepaalde vector staat is daar een normaalvector van. Het enige dat je weet is dat al die mogelijke normaalvectoren van een vector evenwijdig aan elkaar zijn. Daarom zal ik het voortaan wat nauwkeuriger hebben over "een" normaalvector.

De kentallen van een normaalvector.
       
Hiernaast zie je een rode vector met kentallen a en b waarvan een blauwe normaalvector is getekend (let weer op het woordje "een"; de vector kan natuurlijk ook langer of korter of de andere kant op gekozen worden, dan is íe nog steeds loodrecht op de rode).
Laten we eerst voor het gemak die blauwe normaalvector precies even lang tekenen als de oorspronkelijke rode vector.

Er zijn in die figuur een aantal gelijke hoeken te vinden.....    

De bodemlijn is een rechte lijn, dus zijn die drie hoeken bij het begin van de vectoren samen 180º. Maar omdat de vectoren loodrecht op elkaar staan zijn de groene plus de gele hoek samen 90º.

Maar de groene hoek plus de paarse hoek zijn ook samen 90º want ze vormen samen met een rechte hoek de drie hoeken van een driehoek.

Dus is de paarse hoek gelijk aan de gele.


Dan hebben die twee driehoeken twee gelijke hoeken (namelijk 90º en een paarse/gele hoek). Dus zijn alle hoeken gelijk, dus ze zijn gelijkvormig. Sterker nog; als de twee vectoren even lang zijn, dan zijn de driehoeken dus precies hetzelfde (congruent heet dat).
Dan kennen we die twee blauwe vraagtekens ook:  het zijn weer a en b.
De normaalvector heeft dezelfde kentallen als de oorspronkelijke, alleen zijn de x en de y omgewisseld, en bovendien gaat de x naar links in plaats van naar rechts, dus die is negatief.

   

       
Die normaalvector kun je langer of korter maken door de kentallen met een getal groter of kleiner dan 1 te vermenigvuldigen. Je kunt hem ook de andere kant op laten gaan door de kentallen met een negatief getal te vermenigvuldigen. Alles mag; het geeft allemaal mogelijke normaalvectoren.
Letterlijk teveel om op te noemen. Als ik jou was zou ik (als ik mocht kiezen uit al die normaalvectoren)  de eenvoudigste kiezen (die tweede lijkt mij in dit geval het simpelst).
       
De normaalvergelijking van een lijn.
       
Als klein  tussendoortje gaan we eerst even de vergelijking van een lijn op alweer een andere manier schrijven.
Ik beweer dat je elke rechte lijn kunt schrijven als ax + by = c.
Dat gaat mij wel lukken, kijk maar:
y = 4x - 3  ⇒   -4x + y = -3   dus a = -4  en  b = 1  en  c = -3
y = -1/3x + 2  ⇒ 1/3x + y = 2  dus  a = 1/3  en  b = 1  en  c = 2
y = -1/3x + 2  ⇒  3y = -x + 6   x + 3y = 6   dus  a = 1  en b = 3  en c = 6 en die is eigenlijk nog mooier...vind ik

y = 1 - 5/7  7y = 7 - 5x  ⇒   5x + 7y = 7  dus a = 5 en  b = 7 en c = 7
       
Je ziet dat er zelfs meerdere (oneindig veel!) mogelijkheden zijn. Ikzelf kies graag degenen met gehele getallen. Ik heb nou eenmaal wat met gehele getallen.

Andersom kun je ax + by = c  als je dat wilt weer omwerken naar de "oude vertrouwde" vergelijking die je gewend bent.  Kijk maar:
4x + 2y = 5   ⇒  2y = -4x + 5   y = -2x + 21/2.
x - 3y = 12  ⇒  -3y = -x + 12   ⇒  y = 1/3x - 4
       
Die nieuwe vorm ax + by = c  heet de normaalvergelijking van een lijn.

Die normaalvergelijking vind ik eigenlijk nog mooier dan die oude y = ax + b van vroeger.

Waarom?

Nou, in die vergelijking staan x en y wat symmetrischer, en ik hou nou eenmaal van symmetrie.
Bovendien is er zelfs een soort lijnen die je wel met een normaalvergelijking maar niet met y = ax + b kunt beschrijven!!
Zie jij welke lijnen dat zijn?
Nou?????  (antwoord staat in het zwarte blok hiernaast, maar DENK EERST NA)
     

de lijn x = p

Zo, dat was inderdaad een kort tussendoortje, nu terug naar de normaalvectoren.
 
Een prettige eigenschap van normaalvectoren.
       
Die richtingsvector betekent dat je bij a naar rechts ook b omhoog gaat.  Dus bij Δx = a hoort Δy = b
Dan is de richtingscoëfficiënt gelijk aan   Δy/Δx = b/a
Dus is de vergelijking van de lijn  y = b/a x + p  met p een constante.
Omwerken geeft:  y = b/a x + p  ⇒  ay = bx + pa      -bx + ay  = pa
Maar die laatste pa  is natuurlijk gewoon weer een andere constante, dus die mogen we ook wel c noemen.
Dan staat er    -bx + ay  = c

Hé! Wakker worden!

Daar staat een normaalvergelijking!
En niet zomaar eentje:  de getallen bij x en y zijn precies de kentallen van de normaalvector!!!  -b  en a.....
Nou ja zeg.... Dát is handig.....!!! En nog makkelijk te onthouden ook: 
       

in de normaalvergelijking staan de kentallen van de normaalvector. 

       
Kijk hoe handig dat is:
       
Voorbeeld 1.
Geef een vectorvoorstelling van de lijn 3x - 2y = 6  
Kies als steunvector een willekeurig punt van de lijn, bijvoorbeeld (2, 0)
       
Voorbeeld 2.
De vergelijking is dus   5x + 3y = c  en als je de steunvector (punt  (-1,6))  invult geeft dat  c = 13
De vergelijking is dus  5x + 3y = 13.
       
Voorbeeld 3De raaklijn aan een cirkel.
De raaklijn aan een cirkel heeft de leuke eigenschap dat hij loodrecht staat op de lijn van het middelpunt naar het raakpunt.

Loodrecht?

Dat vraagt om een normaalvector.
Neem een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 13. Dan gaat die cirkel door het punt  R = (5, 12).  Toon dat zelf maar aan met Pythagoras

Als je een vergelijking van de raaklijn in (5, 12) aan de cirkel wilt opstellen,  dan weet je dat OR daar loodrecht op staat dus dat is de normaalvector, dus de kentallen van OR staan in de vergelijking.
De vergelijking is dan  5x + 12y = c
Vul punt R(5, 12) in en je vindt c = 5 • 5 + 12 • 12 = 169 en de vergelijking is  5x + 12y = 169.
       
OPGAVEN
   
1. Geef vectorvoorstellingen van de volgende lijnen:
         
  a. 3x + 2y = -2 d. 2y + 6x - 5 = 0
         
  b. y = 1/2x + 8 e. 4y - x = 12
         
  c. y = -3x - 6 f. -2x = 3y - 4
         
2. Geef vergelijkingen van de volgende lijnen.
         
  a.
         
  b.
         
  c.
         
  d.
         
3. Een rechte lijn gaat door (-2, 5)  en  (4, 8)
Geef een vectorvoorstelling, een "gewone" vergelijking, en een normaalvergelijking van die lijn.
         
4. De middelloodlijn van twee punten P en Q is de lijn die door het midden van lijnstuk PQ gaat, en die loodrecht op PQ staat. Het is de verzameling van punten die gelijke afstand tot P als tot Q hebben.

Geef een vectorvoorstelling en een vergelijking van de middelloodlijn van de punten (-2, 8) en  (6, 12)
         
5. Gegeven is driehoek ABC met de hoekpunten  A(1, 4) en B(8, 1)
en C(6, 7).
Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn vanaf een hoekpunt loodrecht op de tegenoverliggende zijde.
Hiernaast zijn de drie hoogtelijnen van de driehoek getekend.

Stel vectorvoorstellingen van die hoogtelijnen op en laat zien dat ze door één punt gaan.

       

(51/3, 54/9)

         
6. Hiernaast zie je lijn AB door A(3, 9) en B(9, 2)  en een punt P(2, 4)
Je moet van P naar lijn AB gaan via de kortst mogelijk route.
Dat is langs lijn PQ die loodrecht op AB staat.

     
  a. Geef een vectorvoorstelling van AB
     
  b. Geef een vectorvoorstelling van PQ.
     
  c. Bereken de coördinaten van punt Q.
   

(429/85, 562/85)

  d. Bereken de afstand PQ in twee decimalen nauwkeurig.
   

4,01

   
         
7. Op een cirkel met middelpunt (2,3) en straal 13 ligt het punt  R(7, -9)
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in punt R.
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)