© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Berekeningen met een onbekende.
De hoofdregel voor berekeningen aan klokvormen was de volgende:

Wat was het leven simpel: je haalde uit het verhaaltje de waarden van L, R, μ en σ en plugde die in de formule, en voilá daar rolde de oppervlakte Φ er al uit. Alleen even opletten: als de oppervlakte oneindig naar links of rechts liep moest je voor L of R een oneindig groot getal nemen. Dat was alles.

Maar het zou natuurlijk ook andersom kunnen: dat je de oppervlakte Φ al weet, en dat één van de andere letters L, R, μ of σ onbekend is. |

Wat moet je in zo´n geval doen?

Nou, gewoon hetzelfde als je al gewend was: die regel met normalcdf hierboven opschrijven. Alleen is dan één van die letters L, R, μ, σ niet in  te vullen. Maar je weet Φ wél. Stel dat je bijvoorbeeld hebt ontdekt dat L = 30, R = 60, σ = 21 en Φ = 0,16. Dan geeft dat dus zó iets met een schets van de bijpassende klokvorm:

 0,16 = normalcdf(30, 60, μ, 21)

Hoe vinden we μ?
Nou, vergelijkingen mochten we (als er niet staat "algebraïsch") altijd ook oplossen met de GR via de knop CALC- INTERSECT.
En dat geldt ook hiervoor!

Hier staat ook gewoon een vergelijking.
m
is de X.

Voer in Y1 = normalcdf(30, 60, X, 21) en Y2 = 0,16.
 
Voor het goede WINDOW moeten we inschatten hoe groot X en Y ongeveer zijn.
Y is geen probleem: die is ongeveer 0,16 dus  nemen we Ymin = 0 en Ymax = 0,5 dan hebben we die alvast in beeld.
X is wat lastiger: het is het gemiddelde in de klokvorm hierboven. We schatten ongeveer X =  90 dus nemen we voor de zekerheid  Xmin = 60 en Xmax = 200 dan hebben we ook die wel zeker in beeld.
Dat geeft samen de grafiek hiernaast en INTERSECT levert  de grafiek hiernaast.
Daaruit zien we dat μ 80,17.

En het gaat precies zo als L, R of σ onbekend is.
   
  OPGAVEN
1. Sinds 1997 is er in Nederland geen militaire dienstplicht meer. Daarvoor waren alle 18-jarigen dienstplichtig. Dat betekende dat zij na een keuring een tijd in het leger moesten doorbrengen. Bij die keuring werd je afgekeurd (en hoefde je dus niet in dienst) als je te lang was. 
Stel dat de gemiddelde lengte van de 18-jarigen in een jaar normaal verdeeld was met een gemiddelde van 180 cm en een standaarddeviatie van 16 cm.
Bij welke lengtes werd je in dat jaar dan afgekeurd als in totaal 4% van de gekeurde mannen werd afgekeurd?
         

208 cm

2. Het aantal cm neerslag in augustus in Nederland is normaal verdeeld met een gemiddelde van 52,5 mm en een standaardafwijking van 15,1 mm.
           
  a. Hoe groot is dan de kans op meer dan 70 mm neerslag in zo'n maand?
   

0,1232

  b. Hoe groot is de kans dat de hoeveelheid neerslag méér dan 10 mm van het gemiddelde afwijkt?
         

0,53

  c. In mei is de gemiddelde neerslag gelijk aan 66,3 mm, en de kans op minder dan 50 mm blijkt gelijk te zijn aan 4%. Hoe groot is de standaarddeviatie van de neerslag in mei?
         

9,3 mm

3. Als er op een verpakking staat dat de inhoud ervan bijvoorbeeld 300 gram is, dan moet dat ook ongeveer kloppen.
Maar ja, als de vulmachines in fabrieken staan afgesteld op een bepaald gewicht, dan is dat het gemiddelde gewicht van de verpakkingen die ze vullen. Het vulgewicht is normaal verdeeld, en vertoont dus een bepaalde spreiding.
Als een klant iets koopt waar op staat "Inhoud 300 gram" dan mag  slechts 3% van de verpakkingen minder dan 300 gram bevatten.
           
  a. Als een fabrikant zijn vulmachine afstelt op 300 gram, hoeveel procent van de verpakkingen heeft dan een gewicht minder dan 300 gram?
     
  b. De standaarddeviatie van het vulgewicht van een bepaalde machine is 9 gram. Op hoeveel gram moet de fabrikant zijn vulmachine dan afstellen zodat slechts 3% een gewicht minder dan 300 gram heeft?
         
 
   
4. (Examenvraagstuk).

Verkeersdrempels zijn bedoeld om de snelheid van de automobilisten te beïnvloeden. Afhankelijk van de gewenste snelheid in een straat worden de drempels steiler of minder steil gemaakt. Zie de volgende afbeelding.
           
 

           
  De drempels met V85 = 50 zijn zo ontworpen dat 85% van de automobilisten de drempel passeert met een snelheid van minder dan 50 km/uur.

In praktijk blijkt dat de passeersnelheid bij een drempel normaal verdeeld is. Bij de drempels met V85 = 50 werd een gemiddelde passeersnelheid van 43,1 km/uur gevonden met een standaardafwijking van 6,6 km/uur.

           
  a. Laat zien dat bij deze verdeling inderdaad 85% van de automobilisten niet harder dan 50 km/uur rijdt.
           
  In een kinderrijke wijk worden verkeersdrempels met V85 = 20 aangebracht. Dat betekent dus dat 85% van de automobilisten de drempel passeert met een snelheid van minder dan 20 km/uur. De passeersnelheid is ook nu normaal verdeeld, maar met een kleinere spreiding: de standaardafwijking is 2,1 km/uur.
           
  b. Bereken de gemiddelde passeersnelheid in km/uur in 1 decimaal nauwkeurig bij dit type drempels.
         

17,82 km/uur

           
5. Op het consultatiebureau houdt men nauwkeurig de lengte van baby’s bij.
Het blijkt dat voor die lengte geldt:   L = 20 + 10 • √(t + 9).
Met L in cm en t in maanden met t = 0 het tijdstip van de geboorte.
Natuurlijk zijn niet alle baby’s even lang: L is de gemiddelde lengte.
De lengtes zijn normaal verdeeld en de standaarddeviatie blijkt voor elke leeftijd 8 cm te zijn.
           
  a. Hoeveel procent van de baby’s van 7 maanden oud zal langer dan 70 cm zijn?
     
  b. Op welke leeftijd is 80% van de kinderen langer dan 80 cm?
       
  c. Om aan te geven wat nog een redelijk normale lengte is heeft de arts van het consultatiebureau in de figuur hiernaast de grafiek van L getekend plus de twee lijnen waartussen 50% van de baby’s zich bevindt.

Geef een vergelijking van de bovenste grafiek.

           
6. Op de kermis kon je vroeger vaak het gewicht van de Dikke Dame proberen te raden. De deelnemers die er minder dan 5 kg vanaf zaten kregen een prijs.
           
  a. Op een kermis weegt de Dikke Dame 185 kg.
Op een avond wagen 1200 mensen een gokje. Het gewicht dat zij raden is normaal verdeeld met een gemiddelde van 160 kg en een standaarddeviatie van 12 kg.  Hoeveel mensen zullen een prijs krijgen?
           
  b. Op een andere kermis is het gewicht dat de deelnemers raden ook normaal verdeeld met een gemiddelde van  158 kg en een standaarddeviatie van 15 kg. Het blijkt dat 6% van de deelnemers een prijs krijgt.
Hoe zwaar was de Dikke Dame op deze kermis?   
           
7. Als je iets meet wat groot is, dan zal de fout in die meting gemiddeld ook groter zijn, dan als je iets meet wat klein is. Dat klinkt logisch, vind je niet?
Mijn keukenweegschaal meet gewichten met een standaarddeviatie die gelijk is aan 2% van het gemeten gewicht.
Ik ga een experiment verrichten en weeg met deze weegschaal 100 keer dezelfde biefstuk. (het is een beetje een saai experiment). Van die 100 keer geeft de weegschaal 12 keer een gewicht lager dan 350 gram aan.
Hoeveel weegt mijn biefstuk waarschijnlijk?
           
8. Een scholengemeenschap heeft de eerste en tweede klassen nog gemengd HAVO-VWO, maar in de derde klas wordt dat gescheiden. Om te kijken of de leerlingen inderdaad in de derde klas op het juiste schooltype zitten houdt men in de derde klas vrij snel een toets.
De scores op die toets blijken normaal verdeeld.
3VWO haalt een gemiddelde van  7,0 en  3HAVO haalt een gemiddelde van 6,0. In beide gevallen is de standaarddeviatie 1,5. 
In 3VWO zitten dit jaar 100 leerlingen, in 3HAVO 80 leerlingen.
           
  a. Hoeveel leerlingen zouden er moeten overstappen als men vindt dat een score lager dan 5,5 bij HAVO moet en een score hoger dan 7,0 bij VWO?
           
  b. Welke grensscore voor toelating tot het VWO zou men moeten hanteren als men wil dat de 20% hoogst scorende HAVO leerlingen alsnog naar het VWO gaan?
           
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1991.
           
  Na een grote en een kleine beurscrisis is de belegger 'risicobewuster' geworden. Aandelen leveren weliswaar een hoger rendement dan een spaarrekening, maar ze zijn ook een stuk riskanter. Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar.
In een prospectus van een beleggingsmaatschappij worden twee mogelijke beleggingsfondsen aangeboden, waarbij gegevens over het risico worden verstrekt . Zie de volgende tabel.
           
 
Fonds Gemiddeld
rendement
Rendement met
95% kans tussen
A
B
5,7%
7,0%
2,9% en 9,5%
-0,7% en 14,7%
           
  Bij de opgave van de mogelijke afwijking met een kans van 95% gaat de maatschappij uit van de normale verdeling.
Ga bij de beantwoording van de volgende vragen uit van deze verdeling.
           
  a. Bereken de standaardafwijking van het rendement bij fonds A
           
  b. Bereken bij fonds B de kans op een negatief rendement.
           
10 examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2016-II
           
 

Een bedrijf produceert plastic verpakkingsmateriaal. Men maakt er onder andere buisfolie. Buisfolie wordt verwerkt tot plastic zakken. Bij de productie van de buisfoliezakken moet de breedte binnen nauwe grenzen blijven. De streefwaarde is 715 mm.
Om het risico te beperken dat de zakken te smal zijn, wordt de gemiddelde breedte ingesteld op 715,6 mm. Neem aan dat de breedte normaal verdeeld is met σ = 0,5 mm.

Bij de productie van buisfoliezakken voor een bepaalde afnemer is vastgelegd dat het tolerantiegebied het gebied is waar de breedte van de zakken maximaal 1 mm van de streefwaarde van 715 mm afwijkt.

           
  a. Bereken het percentage van de partij zakken dat buiten dit tolerantiegebied ligt.
         

21,25%

  Men vindt het productieproces voor een andere afnemer van buisfoliezakken acceptabel als hoogstens 2,5% van de zakken breder is dan 716 mm. Hiervoor moet de standaardafwijking wel veranderen. Het is mogelijk de machine zo in te stellen dat de gemiddelde breedte niet verandert maar de standaardafwijking wel.
           
  b. Beredeneer zonder berekeningen te maken of de standaardafwijking dan kleiner of groter dan 0,5 moet zijn.
           
  c. Bereken hoe groot de standaarddeviatie moet zijn.
         

0,204

         
           
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)