centrale limietstelling


De Centrale Limietstelling.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Vandaag heb ik zin om dingen bij elkaar op te gaan tellen.
Zomaar....

Ik ga een aantal willekeurige dingen bij elkaar optellen, en kijken wat dat oplevert.
Laten we beginnen met het gooien met een dobbelsteen en het aantal ogen te tellen. De kans op elk aantal is uiteraard ¹/₆ dus de kansverdeling ziet eruit als hieronder:

Tot zover nogal een saai begin.

Als tweede experiment gooien ik een muntstuk op en tel het aantal keer kop. Dat is uiteraard 0 of 1, met beiden kans ¹/₂.

Het wordt al ietsje leuker als we die twee dingen (aantal kop en aantal ogen) bij elkaar optellen. Dat geeft de kansverdeling hiernaast.

Nog maar een experiment erbij dan. Ik zet de TV aan en kijk naar de eerste twee gezichten die ik in beeld krijg. Ik tel het aantal mannen daarbij en tel dat op bij de ogen van de dobbelsteen en het aantal kop van de munt. Er vanuit gaande dat de kans op man of vrouw 50% is, krijg ik de kansverdeling hiernaast.

Dan schud ik een kaartspel en draai één voor één de kaarten om net zolang tot ik een kaart krijg die geen plaatje is (dus een 2 tm 10). De kans op elke is dus ¹/₉. Ook de waarde van die kaart tel ik bij mijn som op.
Dat geeft de volgende kansverdeling:

Ik zou zo nog een tijdje door kunnen gaan met willekeurige dingen bij mijn som op te tellen. De histogrammen die ik krijg vormen altijd zo'n soort filmpje als hiernaast:

Dit soort filmpjes eindigt vreemd genoeg op den duur altijd met eenzelfde soort klokvormachtige figuur.
Het was de wiskundige Carl Friedrich Gauss die inzag dat die eindfiguren niet zomaar ongeveer gelijk waren; nee hij ontdekte dat die figuren PRECIES gelijk waren!!! Hij ontwikkelde zelfs een formule voor deze figuur:

(een vrij technische afleiding uit de binomiale verdeling staat hier)

Gauss ontdekte deze formule op 17-jarige (!!!) leeftijd. Deze ontdekking is zo belangrijk voor de statistiek geworden, dat Gauss er in Duitsland zelfs het 10-mark biljet mee haalde. Samen met zijn normale verdeling!
Wiskundigen noemen deze figuur en deze kansverdeling de Normale Verdeling. Natuurkundigen hebben het vaak over de Gauss-kromme.

Die ontdekking van Gauss heet de Centrale Limiet Stelling:

Als je een heleboel willekeurige dingen, die onafhankelijk van elkaar zijn en allemaal hun eigen gemiddelde en standaarddeviatie hebben, bij elkaar optelt, dan wordt het resultaat een normale verdeling.

"Ja, hoor eens", hoor ik je al denken, "Die formule is natuurlijk wel mooi gevonden, maar dat dat zo'n soort symmetrische vorm wordt, met een top in het midden en aflopend naar de zijkanten, dat lijkt me nogal logisch! Met twee dobbelstenen gooi je bijvoorbeeld vaker 7 dan 12 omdat 7 gewoon op veel meer manieren kan voorkomen. Zo apart is die vorm eigenlijk helemaal niet..."

Toch is dat niet waar. Die vorm is wél apart....

Laten we een valse dobbelsteen nemen waarvan de kansverdeling helemaal niet symmetrisch is, maar helemaal scheef naar één kant:

Misschien verwacht je nu dat, omdat de kansverdeling van het aantal ogen van deze ene steen scheef naar rechts oploopt (kansen ¹/₆ - ²/₆ - ³/₆), dat de verdeling als je een groot aantal van deze worpen bij elkaar optelt ook wel scheef naar rechts zal zijn. Maar dat is niet zo!
Kijk maar naar de serie afbeeldingen hiernaast. Bij één keer gooien is het uiteraard wel scheef, maar bij vaker gooien wordt dat steeds minder en verschijnt toch weer de rood getekende klokvorm! Tuurlijk, aan de linkerkant zit een langere "staart" dan aan de rechterkant, maar de kansen daar zijn te verwaarlozen (ongeveer nul). Het gedeelte "waar het om gaat" heeft weer die mooie symmetrische klokvorm.
Kijk maar in de figuur hieronder hoe voor deze scheve oorspronkelijke kansverdeling de somverdeling langzaam naar rechts wandelt en tijdens dat wandelen een steeds mooiere klokvorm gaat aannemen:

De laatste verdeling moet je nog maar even rustig bekijken. Hieronder zie je hoe de som van 20 zulke worpen met zo'n supervalse dobbelsteen eruit ziet:

Inderdaad toch weer een aardig mooie klokvorm, maar wel met aan de linkerkant een veel grotere staart (die er niet toe doet) dan aan de rechterkant.

Waarom is de normale verdeling eigenlijk zo belangrijk?

Omdat de normale verdeling elke keer ontstaat als een groot aantal willekeurige factoren wordt opgeteld komt hij erg vaak voor. Immers, bijna alles wat wij meten is gevolg van een groot aantal factoren; gewicht, lengte, IQ, temperatuur, behaalde proefwerkcijfers, meetfouten, noem maar op.

Eigenschappen van de normale verdeling.

De normale verdeling heeft een aantal handige en belangrijke eigenschappen:

•	Hij wordt volledig bepaald door twee getallen: het gemiddelde μ en de standaarddeviatie σ (ook wel standaardafwijking genoemd). Dat kun je zien aan die moeilijke formule van Gauss. Het gemiddelde μ vind je "natuurlijk" in het midden. De standaarddeviatie σ bepaalt hoe breed de klokvorm wordt. Om precies te zijn is het de horizontale afstand vanaf het midden naar de buigpunten van de figuur. Dat zijn de punten waar de grafiek van "hol" overgaat naar "bol".


	Dus als je m verandert dan schuift de klokvorm in zijn geheel naar links of naar rechts en als je σ verandert, dan wordt de klokvorm breder of smaller maar blijft het midden op zijn plaats.

•	De totale oppervlakte onder de normale verdeling is 1. Bedenk dat daar eigenlijk heel veel kleine staafjes van een histogram onder de klokvorm staan. De totale oppervlakte van een histogram is gelijk aan de totale frequentie, en als je op de y-as procenten zet komt daar 100% uit. "Alles samen is 100%".

•	De klokvorm is symmetrisch. Je kunt hem spiegelen in de lijn x = μ. Dat is natuurlijk nogal logisch als je je bedenkt dat hij gevolg is van heel veel willekeurige factoren. Als die echt willekeurig zijn zullen ze even vaak een bijdrage kleiner dan μ leveren als een bijdrage groter dan μ. Van deze verdeling zijn het gemiddelde en de mediaan en de modus alledrie aan elkaar gelijk.

•	Twee vuistregels. Tussen de grenzen x = μ - σ en x = μ + σ blijkt ongeveer 68% van de oppervlakte te zitten. Tussen de grenzen x = μ - 2σ en x = μ + 2σ blijkt ongeveer 95% van de oppervlakte te zitten.

OPGAVEN

Hieronder staan vier klokvormen getekend.

Bepaal zo goed mogelijk van elk van die klokvormen m en s.

Maak een schatting voor de schaalverdeling van de y-as.

Klokvormen die hoger zijn, zijn ook altijd smaller. Leg uit waarom dat logisch is.

De normale verdelingen die hieronder zijn getekend horen allemaal bij μ = 38 en σ = 7
Geef van elk van de gekleurde gebieden de oppervlakte.

Teken bij elk van de volgende gevallen een klokvorm en gebruik die om de vraag te beantwoorden.

Het gewicht van zakken potgrond is normaal verdeeld met een gemiddelde van 20 kg en een standaarddeviatie van 0,8 kg. Hoeveel procent van de zakken zal een gewicht tussen de 18,4 en 20,8 kg hebben?

79%

De lengte van de brugklassers dit jaar is normaal verdeeld met een gemiddelde van 165 cm en een standaarddeviatie van 16 cm. Het blijkt dat 39% van hen korter is dan 160 cm. Hoeveel procent zal dan tussen de 170 en 181 cm lang zijn?

23%

Een bioloog meet de vliegsnelheid van een groot aantal zwaluwen en vindt een gemiddelde van 60 km/uur met een standaarddeviatie van 8 km/uur. Het blijkt dat bij 21% van de metingen de snelheid tussen 65 km/uur en 76 km/uur lag. Bij hoeveel procent van de metingen zal de snelheid dan kleiner dan 55 km/uur zijn geweest?

26%

In welk van de volgende gevallen zal er, denk je, (ongeveer) sprake zijn van een normale verdeling? Als dat niet het geval is, leg dan uit waarom volgens jou niet.

Het jaarinkomen van de Nederlanders.

De herseninhoud van volwassen mannen in Groningen.

De levensduur van 1,5 Volt AA batterijen van Duracel.

De tijd die je moet wachten op een tramhalte als die tram precies één keer per half uur komt, en je weet niet wanneer.

De gemiddelde afstand tussen huis en school van middelbare scholieren.

De zwangerschapsduur van Belgische vrouwen.

Het aantal dagen dat het duurt voordat klanten hun rekening betalen.

Het IQ van alle Nederlanders is normaal verdeeld met een gemiddelde van 100.
Leg uit waarom het IQ van de VWO-leerlingen in Nederland dan NIET normaal verdeeld zal zijn.

Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2007.

Men heeft een onderzoek gedaan onder studenten. Daarbij is gekeken naar de tijd die mannelijke en vrouwelijke studenten thuis aan hun studie besteden. Het onderzoek wijst uit dat vrouwen per week meer tijd aan ‘huiswerk’ besteden dan mannen. De spreiding in huiswerktijd bij de mannen is kleiner dan bij de vrouwen. Bij beide is hier bij benadering ook weer sprake van een normale verdeling.
Vier leerlingen kregen de opdracht om in één figuur van zowel de mannelijke als de vrouwelijke studenten een verdeling van de tijd aan te geven die de studenten thuis aan hun studie besteden. Het resultaat van deze opdracht staat in onderstaande figuur.

Eén van de bovenstaande figuren past het best bij de gegevens over de studenten.
Welke figuur is dat? Licht je antwoord toe.