Een lijn loodrecht op een vlak.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wanneer staat een lijn loodrecht op een vlak? Wat wordt daar nou precies mee bedoeld en hoe kunnen we dat onderzoeken of  bewijzen?

Laten we een tentstok met scheerlijnen rechtop gaan zetten. We willen graag dat de stok loodrecht op het bodemvlak komt te staan.

Eerst zetten we de stok met twee scheerlijnen vast. Dat doen we z dat de scheerlijnen in n vlak liggen. Als we die scheerlijnen even lang maken dan is de tentstok een hoogtelijn van een gelijkbenige driehoek ABT en dan is de hoek die de tentstok met AB maakt 90.
Misschien denk je nu:

   

 
 
Nou, dat is niet zo!

De scheerlijnen zorgen ervoor dat de stok niet meer in de richting AB kan bewegen. Daar blijft hij mooi loodrecht op staan. Maar de stok kan nog wel in andere richtingen draaien, kijk maar, tijdens dit draaien blijft de hoek met AB steeds 90, maar staat de stok beslist niet steeds loodrecht op het bodemvlak:

Om te zorgen dat ie niet meer kan "omvallen" moeten we hem ook nog in een andere richting vastzetten. Wlke andere richting dat maakt eigenlijk niet eens zoveel uit. In elk van de onderstaande gevallen staat de stok muurvast en loodrecht op het bodemvlak.
De conclusie van dit hele tentstokverhaal is de volgende:

Een lijn staat loodrecht op een vlak
als hij loodrecht staat op twee snijdende lijnen uit dat vlak.

Er staat twee snijdende lijnen om ervoor te zorgen dat die lijnen niet dezelfde richting hebben. Immers als de lijn loodrecht staat op twee evenwijdige lijnen uit een vlak, dan staat hij eigenlijk maar loodrecht op n richting in dat vlak en kan hij nog steeds kantelen zoals in het bewegende plaatje hierboven.

Om dus te bewijzen dat een lijn loodrecht op een vlak staat, moet je op zoek gaan naar twee snijdende lijnen uit dat vlak, en aantonen dat de lijn op beiden loodrecht staat.
Eerst maar even oefenen...
1. In de kubus hiernaast staat zijvlaksdiagonaal AC loodrecht op vlak BHF.

Toon dat aan.

2. In het regelmatige viervlak (alle ribben even lang) ABCD, staat ribbe AD loodrecht op vlak  BMC waarbij M het midden van AD is.

Toon dat aan.

3. In de kubus hiernaast staat lichaamsdiagonaal  EC loodrecht op vlak AFH.

Toon dat aan.
 

4. Een balk heeft afmetingen 6 bij 6 bij 72 zoals in de figuur hiernaast..
M en N zijn de middens van de ribben EF en DC.
     
  a. Toon aan dat HB loodrecht op AG staat.
     
  b. Toon aan dat HB loodrecht op vlak AMGN staat
       
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is de balk OABC.DEFG gegeven door de punten:
O(0,0,0), A(4,4,0), B(0,8,0) en D(0,0,4).
In onderstaande figuur is deze balk zo getekend dat rechthoek OBFD op ware grootte is weergegeven.
Het punt P is het midden van lijnstuk BC.
       
 

       
  Onderzoek of de lijn AG loodrecht op vlak DFP staat.
       
       
Gevolg van loodrechte stand.
   
Aan die drie plaatjes naast elkaar van die tentstok hierboven zag je al wel dat ls een lijn loodrecht op een vlak staat, dat hij dan ook loodrecht staat op lke lijn uit dat vlak. Hiernaast zie je dat nog een keer. De tentstok staat loodrecht op alle lijnen in het bodemvlak.

Dat heeft twee belangrijke gevolgen.......

 

Gevolg 1.

Om te bewijzen dat een lijn NIET loodrecht op een vlak staat, hoef je maar n lijn uit dat vlak te vinden waar hij niet loodrecht op staat. Dat is veel makkelijker! En tegenvoorbeeld is genoeg om aan te tonen dat iets NIET zo is.
   
Gevolg 2.

Je kunt dit gebruiken om aan te tonen dat twee lijnen die elkaar kruisen loodrecht op elkaar staan. Immers als je een vlak kunt vinden waar de ene lijn loodrecht op staat en waar de andere lijn in ligt dan moeten ze wel loodrecht op elkaar staan.
Let goed op de volgende twee ALS... DAN...redeneringen. Dat noteren wiskundigen met  A B  en dat betekent dus 
"als A waar is, dan is B ook waar"  ofwel:  "B volgt uit A"
 

loodrecht op twee snijdende lijnen uit een vlak   loodrecht op het hele vlak
loodrecht op een vlak    loodrecht op alle lijnen uit dat vlak

 
6. Leg duidelijk uit waarom je uit het resultaat van opgave 3 hierboven zonder berekeningen kunt concluderen dat in de kubus hiernaast de lijnen PQ en EC loodrecht op elkaar staan.

Leg ook zonder berekeningen uit waarom PC en BH loodrecht op elkaar staan.

     
7. Van piramide T.ABCD zijn alle ribben even lang. M is het midden van TC, en N het midden van BM.

Toon aan dat DN loodrecht op TC staat.

     
8. Van piramide T.ABCD is het bodemvlak een rechthoek van 6 bij 8. De top T ligt op hoogte 6 recht boven punt D.
M is het midden van TC. Zie de figuur hiernaast.

Toon aan dat TB en DM loodrecht op elkaar staan.

 


 

     
     
Toepassingen van loodrechte stand.
   
Een lijn loodrecht op een vlak tekenen kom je het vaakst tegen als je de inhoud van een willekeurige piramide wilt berekenen.
Immers voor die inhoud (I) geldt:  I = 1/3 G h  (waarin G de oppervlakte van het grondvlak is, en h de hoogte van de top boven het grondvlak).
In deze formule moet je de hoogte h berekenen door vanaf de top een lijn loodrecht op het grondvlak te tekenen en daar de lengte van uit te rekenen.

In beide figuren hiernaast staat de rode lijn h dus loodrecht op het blauwe vlak G.

   
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1991.

De kubus OABC.DEFG waarvan de ribben de lengte 4 hebben, is hieronder afgebeeld door een scheve parallelprojectie op een vlak dat evenwijdig is aan vlak OCGD.
Het punt M is het midden van lijnstuk BC.

         
 

         
  Bereken de inhoud van viervlak EGMO.
       

16

Spiegelen en Draaien.
         
Je hebt de loodrechte stand eigenlijk altijd nodig als je te maken hebt met problemen waar het gaat om spiegelen van punten of draaien van punten. Kijk maar naar de volgende drie voorbeelden.
 
Voorbeeld 1.  Draai een punt om een as.

Stel dat je punt P in de kubus hiernaast wilt draaien om de as BH. Wat voor beweging maakt dat punt P dan in de ruimte?
Nou, dat is gelukkig eenvoudig:

       

P beweegt in een vlak, loodrecht op de draaias.

       
We zoeken dus een vlak dat loodrecht op de draaias staat, en waar P bovendien in ligt.  In dat vlak speelt alles zich af.

Nou weten we al dat EDG loodrecht op de as staat. Dus als je een vlak door P evenwijdig aan EDG tekent, dan weet je dat P tijdens de draaibeweging in dat vlak blijft.
In de figuur linksonder is dat vlak geconstrueerd (met evenwijdige lijnen, weet je nog?), rechts zie je dat vlak plat getekend.
         

         
Het rode vlak PQR is evenwijdig aan EGD dus ook loodrecht op HB.
S is het snijpunt van HB en QPR. P beweegt over een cirkel met middelpunt S en straal PS.
In de rechterfiguur zie je dat P na 120 draaien is terechtgekomen in Q.

Voorbeeld 2.  Spiegel een punt in een lijn.

Nou dat is stiekem hetzelfde als voorbeeld 1, immers spiegelen in een lijn is hetzelfde als draaien met die lijn als as en over 180. Teken dus weer het vlak loodrecht op de as en gebruik dat om daarin 180 te draaien.

Voorbeeld 3.  Spiegel een punt in een vlak.


In dat geval ga je van P loodrecht naar het vlak en dan even ver aan de andere kant.  Gebruik dus in die gevallen altijd een lijn die loodrecht op het vlak staat:

Als je hetzelfde punt P nu wil spiegelen in vlak EBG, dan ga je dus vanaf P een lijn loodrecht op EBG tekenen.
       

P beweegt over de lijn,  loodrecht op het spiegelvlak.

       
Omdat DF loodrecht op EBG staat zal dat een lijn evenwijdig aan DF zijn. Hieronder zie je links de situatie ruimtelijk getekend, en rechts is vlak HFBD uit de figuur gelicht. S is het snijpunt van PQ met vlak EBG, en is dus het punt waar eigenlijk in wordt gespiegeld.
         

         
Na spiegelen is P terechtgekomen op punt P'  binnen de kubus op QP.  Daarbij geldt uiteraard  PS = P'S.
         
       
10. In kubus ABCD.EFGH is M het midden van AB.

     
  a. Construeer het spiegelbeeld van M in lijn DF.
     
  b. M wordt over 90 tegen de klok in om DF gedraaid. Construeer de lijn l waarop beeldpunt M'' ligt
       
 
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)