h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. AC staat loodrecht op DB want dat zijn de diagonalen van een vierkant.
Dus AC staat ook loodrecht op HF

AC staat loodrecht op CG want dat zijn de zijden van een rechthoek
Dus AC staat ook loodrecht op BF

AC staat loodrecht op HF en op BF dus op vlak HFB.
       
2. AD staat loodrecht op CM want CM is de hoogtelijn van de gelijkzijdige driehoek ACD
AD staat loodrecht op BM want BM is de hoogtelijn van de gelijkzijdige driehoek ABD

AD staat loodrecht op CM en op BM dus op vlak BMC
       
3. Verplaats AF naar MN met M het midden van AD en N het midden van FG.
Dan snijden AF en EC elkaar in het midden S van de kubus.

ME = MC = CN = NE  (allemaal schuine zijden van dezelfde rechthoekige driehoeken)
Dus MCNE is een ruit, dus staan de diagonalen EC en MN loodrecht op elkaar.
Dus staan ook EC en AF loodrecht op elkaar.

Op dezelfde manier kun je HF verplaatsen naar  PQ (P midden van HD en Q midden van BF. Ook dan krijg je een ruit PEQC dus staan ook EC en HF loodrecht op elkaar.

EC staat loodrecht op AF en op HF dus op vlak AHF
       
4.

       
  a. BG2 = 62 + 62 = 72  dus  BG = 72
Dus ABGH is een vierkant en daarvan staan de diagonalen loodrecht op elkaar.
Dus staan AG en HB loodrecht op elkaar.
       
  b. HM en MB en BN en NH zijn allemaal de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 6 en 1/272.
Dus zijn ze allemaal even lang, dus is HMBN een ruit.
Dan staan de diagonalen HB en MN loodrecht op elkaar.

HB staat loodrecht op AG (vraag a) en op MN, dus op vlak AMGN
       
5.

       
  Verplaats DF naar MN met M het midden van OD en N het midden van FB.
Dan zijn MA en AN en NG en GM allemaal schuine zijden van rechthoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden 42 en 2 zijn. Dus zijn ze alle vier even lang.
Dus is MANG een ruit en staan de diagonalen AG en MN loodrecht op elkaar.
Dus staat AG loodrecht op DF.

Verplaats GA naar FQ (zie de figuur)
FQ2 = 42 + (42)2 + (42)2 = 80
PQ2 = (62)2 + (42)2 = 104
FP2 = 42 + (22)2 = 24
PQ2 = FQ2 + FP2  (want 104 = 80 + 24)
Dus in driehoek FPQ geldt Pythagoras, dus is de driehoek rechthoekig.
Dus staat QF loodrecht op FP.
Dus staat AG loodrecht op FP

AG staat loodrecht op FD en op DF dus op vlak DFP.
       
6. EC staat loodrecht op vlak AHF (opgave 3) dus op alle lijnen uit AHF dus ook op PQ.

BH staat loodrecht op vlak  AFC (zie opgave 3) dus op alle lijnen uit AHC dus ook op PC.
       
7. TC staat loodrecht op DM (hoogtelijn gelijkzijdige driehoek)
TC staat loodrecht op BM (hoogtelijn gelijkzijdige driehoek)
Dus TC staat loodrecht op vlak DMB, dus op alle lijnen uit dat vlak.
Dus ook op DN.
       
8. DM staat loodrecht op TC (diagonalen van een vierkant)

AD staat loodrecht op DT en op DC dus op heel vlak TDC, dus ook op DM
Dan staat BC ook loodrecht op DM want die is evenwijdig aan AD.

DM staat dus loodrecht op BC en op Tc dus op heel vlak TBC
Dus loodrecht op alle lijnen uit TBC, dus ook op TB
 
       
9.

       
  Zie het viervlak als een piramide met grondvlak EOG en top M.
BD staat loodrecht op EOG (opgave 3), dus de lijn van M evenwijdig aan BG ook.
Die snijdt het grondvlak in punt N (want BD en MN liggen in vlak BCDE)
Dus de hoogte van de piramide is MN.

OM2 = 42 + 22 = 20 dus OM = 20 en ook MG = 20
OG2 = 42 + 42 = 32  dus  OG = 32
OMG is gelijkbenig met hoogtelijn MN, dus  MN2 = MG2 - NG2 = 20 - (1/232)2 = 20 - 8 = 12
MN = 12

OGE is gelijkzijdig met zijden 32,
EN2 = EO2 - ON2 = (32)2 - (1/232)2 = 24 dus EN = 24
Het grondvlak OGE heeft oppervlakte 1/2 32 24 =  1/2768

De inhoud van het viervlak is  1/3 1/2768 12 = 1/69216 = 1/6 96 = 16
       
10.

       
  a. EBG staat loodrecht op DF, dus de rode zeshoek ook.
Ui symmetrie kin je zien dat M' tegenover M op de zeshoek ligt. Het draaui[punt is S.
       
  b. Trek de lijn van S naar het midden van KL, die maakt 90 met SM  (nl. 60 + 30). Dus M''  ligt op lijn l  (net buiten de kubus)
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)