h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een formule uit een verhaaltje maken.
   
Er zijn eigenlik twee manieren om zelf een formule te maken.
Eerst moet je beslissen wat je  y noemt en wat x.
Meestal staat dat in de opdracht. Als de vraag is "Maak een formule voor P"  of  "stel een functievoorschrift op voor Z", dan betekent dat automatisch dat P of Z de y van je formule is.
Dus zullen in die gevallen je formules er uitzien als  P = .... en Z = .....
   
1. De saaie manier
   
Als je beslist hebt wat y gaat worden en wat x, dan probeer je uit de tekst twee punten te bepalen. Met die twee punten stel je vervolgens via het recept hieronder de formule op. We zagen dat al eerder in deze les.
   
 

 

 

   

voorbeeld:
Meneer Groeneveld houdt al jaren bij hoeveel geld hij aan zijn auto kwijt is, en ook hoeveel kilometer hij met zijn auto heeft gereden. Hij ontdekt dat er een lineair verband is tussen de kosten en het aantal gereden kilometers.
Aan wegenbelasting is hij elke maand 86,- kwijt. Eens per jaar moet de auto voor een grote beurt naar de garage en dat kost standaard 400,-. Zijn auto rijdt 1 op 16 (dus met 1 liter benzine rijdt hij 16 km), en de benzineprijs is 1,25 per liter.
Stel een formule op voor de kosten K bij gereden afstand A kilometer per jaar.

oplossing.

Stel dat hij in een jaar 10000 km rijdt. Dan kost dat  10000/16 = 625 liter benzine en dat is 625 1,25 = 781,25. De totale kosten in een jaar zijn dan  781,25 + 86 12 + 400 = 2213,25
De lijn gaat dus door het punt  (10000, 2213.25)

Stel dat hij 20000 km rijdt, dan levert precies dezelfde berekening een bedrag van  2994,50
De lijn gaat dus ook door (20000, 2994.50)

Het recept toepassen:  a = (2994.50 - 2213.25)/(20000 - 10000) = 781,25/10000 = 0,078125.
2213.25 = 0,078125 10000 + b  geeft  b =  1432
Dat geeft  K = 0,078125 A + 1432

   
2. De nog saaiere manier.
   
  Verhaaltjes die bij lineaire formules horen gaan altijd over een vaste hoeveelheid y en daarnaast een hoeveelheid y die er per x bijkomt of afgaat.
Die vaste hoeveelheid is de beginwaarde b.
De hoeveelheid die er per x bijkomt is het hellinggetal a.

voorbeeld
Ter gelegenheid van mijn verjaardag geef ik een groot feest. Ik heb voor 300, een grote feesttent gehuurd, waar een bandje in gaat spelen. Dat optreden kost trouwens 480,- Om de zaak een beetje betaalbaar te houden laat ik de gasten wel voor hun eigen drank betalen. Er is alleen bier. Ik vraag 1,60 per glas tapbier. De inkoopprijs is 300,- per vat, maar daar gaan dan ook 250 glazen uit. Ik weet dat mijn gasten per feestavond gemiddeld 12 glazen bier drinken.
Stel een formule op voor de winst W van de avond als functie van het aantal gasten G.

oplossing
vaste kosten:  300 + 480 = 780. Dus winst  -780 en dat is b
per gast:  Een g1as kost mij 300/250 = 1,20 dus dat levert per glas 1,60 - 1,20 = 0,40 op. Per gast is dat  12 0,40 = 4,80 en dat is a 
De formule is daarom  W = 4,8 G - 780

   
 
  OPGAVEN
   
1. Een ritje in een taxi is vrij duur. Je betaalt direct al een basisbedrag en daarna voor elke gereden minuut nog weer een vast extra bedrag. Ik heb dat een tijdje bijgehouden. Een rit van 10 minuten kostte 15,60 en een rit van 18 minuten kostte 20,80.
Stel een formule op voor de kosten van een rit als functie van de rijtijd.
 
B = 0,65y + 9,1
   
 2. Gerard speelt al jarenlang bij de golfclub. Het basislidmaatschap is per jaar 185,- maar daarnaast moet hij elke keer dat hij de baan gebruikt ook nog 5,- speelgeld betalen. Daarnaast is hij nog meer geld kwijt. Een golfbal kost 1,50 en die raakt hij regelmatig kwijt omdat hij ze de bosjes of het water in slaat. Per twee keer spelen is hij wel een bal kwijt.  
Stel een formule op voor het geld dat Gerard per jaar kwijt is als functie van het aantal keer dat hij heeft gespeeld.
 

G = 185 + 5,75n

3. Een kat van 11 jaar is al redelijk bejaard, maar een mens nog maar een kind. Het meest gebruikte systeem om kattenjaren (K) om te rekenen naar mensen jaren (M) is het volgende:
Bij een kattenleeftijd van 2 jaar hoort een mensenleeftijd van 24 jaar. Daarna telt elk kattenjaar voor 4 mensenjaren. 
Onder de 2 jaar telt elk kattenjaar voor 12 mensenjaren.
Stel twee formules  M(K) op, eentje voor K < 2 en eentje voor  K > 2.
 

M = 12K
M = 4K + 16

   
4.
In Amerika gebruikt men voor temperaturen niet de "graden Celsius (C)" die wij gewend zijn, maar "Graden Fahrenheit (F)". Daarvan getuigt bijvoorbeeld het sciencefiction boek "Fahrenheit 451" van de Amerikaanse schrijver Ray Bradbury. Het boek speelt zich af in een tijd waar boeken verbannen zijn en verbrand worden. 451 is de temperatuur in graden Fahrenheit waarbij papier gaat branden. Dat gebeurt bij ongeveer 233C.
Als de temperatuur bij ons 15C stijgt, dan is die stijging bij de Amerikanen gelijk aan 27 graden.
Stel een formule voor F op, en bereken bij hoeveel graden in Amerika water kookt.
 

F = 1,8C + 31,6

 

 

5. Een veerboot vaart over een grote rivier van plaats A naar plaats B, waartussen de afstand gelijk is aan 12 km. Op de route van B naar A vaart de boot met de stroom mee en daar doet hij 80 minuten over.

De boot blijft 20 minuten in A, en vaart dan weer terug naar B.
Van A terug naar B moet de boot tegen de stroom in, en daarom kost dat  110 minuten. Neem aan dat de boot het hele parcours met constante snelheid in een rechte lijn vaart.

  De afstand (in km) van de boot tot punt B noemen we B(t). Daarin is t de tijd in minuten met t = 0 op het moment dat de boot vanuit B vertrekt.
         
  a. Geef een formule voor B(t)  als  0 < t < 80.
       

B = 0,15t

  b. Geef een formule voor B(t)  voor  100 < t < 210.
       

B = 112 - 6/55t

   
6. Het is erg verstandig om, als je een eigen huis hebt, dat te verzekeren tegen brand.
Daarvoor moet je jaarlijks natuurlijk wel een premie betalen, en die hangt af van de waarde van je huis.
Een verzekeringsmaatschappij hanteert de formule:  P(t) = 2000 + 0,04W(t).  Daarbij is P de jaarlijks te betalen premie, W de waarde van het huis en t de tijd in jaren.

Stel dat jouw huis in 2000 een waarde van 180000,- had, maar daarna elk jaar 4000,- minder waard is geworden.
         
  a. Geef een formule voor de waarde W van jouw huis als functie van de tijd t. Neem t in jaren met t = 0 in 2000.
       

W = 180000-4000t

  b. Geef een formule voor de hoogte van de premie P als functie van de tijd t.
       

P = 9200 - 160t

  c. In welk jaar zal de hoogte van de premie 6% van de waarde van jouw huis zijn?
       

2020

         
7. In het krantenartikel hieronder is te lezen dat de kinderen in Nederland steeds langer en dikker worden.
In de grafiek zie je hoe de lengte L in cm van de gemiddelde Nederlander sinds 1900 is toegenomen.
         
 
Welstand maakt kind dikker en langer
   
Utrecht - de kinderen in Nederland worden gaandeweg zowel dikker als langer. Het is een ontwikkeling die artsen, medewerkers van de bureaus zuigelingenzorg en ditisten alom waarnemen. Dat leidt overigens niet tot  een groeiende bezorgdheid van ouders en een toenemend bezoek aan ditisten.

'Kennelijk zien veel ouders er geen probleem in als hun kind aan de stevige of lange kant is', zegt de Utrechtse ditiste N. Klooster. 'Aan extreme lengte kun je trouwens met een dieet weinig veranderen'. 

Nog drie jaar en de gemiddelde Nederlander is 'uitgegroeid'. Eeuwenlang is elke generatie ietsje langer geworden met als gevolg dat de gemiddelde Nederlander (mannen en vrouwen) momenteel rond de 1.75 meter is. Maar volgens deskundigen zal daar na 2000 niet veel meer bijkomen. Wij zitten aan onze 'groeitax'.
Onderwijl is de gemiddelde Nederlander daarmee wel de langste Europeaan geworden. De gemiddelde Portugees is de kleinste met zijn 1,64 meter, een lengte die de Nederlander vlak na de eeuwwisseling al had bereikt.
Hoe beter de omstandigheden - leefomgeving, huisvesting, medische zorg, voeding - hoe langer de mens. En vaak ook: hoe dikker. De gemiddelde Nederlander vanaf 19 jaar was in 1900 nog 1,63 meter. In 1996 was zijn lengte toegenomen tot 1,75 meter.
Huisvesting en medische zorgen staan in Nederland op een hoog peil. 'Kinderen hoeven hun krachten niet meer te besteden aan het overleven, omdat ziektes waaraan kinderen vroeger doodgingen zijn uitgebannen' aldus Klooster. 

         
  a. Geef de formule voor L als functie van t. Neem hierbij t = 0 in 1900 en t in jaren.
         
  b. De gemiddelde Griek heeft een lengte van 1,68 meter. In welk jaar had de Nederlander deze lengte al bereikt?
       

1940

         
8. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1995

Bij toetsen met 50 meerkeuzevragen wordt geteld hoeveel vragen een kandidaat goed heeft. Dit aantal noemen we de score X. Hierna wordt de score X omgezet in een cijfer Y. Een kandidaat die niets goed heeft krijgt altijd een 1, dus bij X = 0 hoort Y = 1. Wie alle vragen goed heeft beantwoord krijgt natuurlijk een 10; bij X = 50 hoort Y = 10.

Stel dat er een lineair verband bestaat tussen X en Y. Zie de figuur hiernaast. Voor het gemak is er een lijn getekend in plaats van losse punten. Een kandidaat heeft 35 vragen goed.

         
  a. Bereken het bijbehorende cijfer X in n decimaal nauwkeurig.
       

7,3

  Bij het cijfer 5,5 ligt de omslag van voldoende naar onvoldoende. Daarom noemen we de score waarbij het cijfer 5,5 hoort de omslagscore. Meestal zal de omslagscore bij X = 25 liggen. Dit is ook het geval in bovenstaande figuur.
Soms is de omslagscore niet 25. Er is dan sprake van een verschuiving V. In de figuur hieronder is twee keer een verband tussen X en Y getekend bij een verschuiving.  Een grafiek bestaat nu na een verschuiving V altijd uit twee rechte lijnstukken.
         
 

         
  b. Welke van de twee grafieken (rood of blauw) hoort bij een moeilijkere toets?
       

ROOD

  c. Bij een toets met maximale score X = 50, haalt een leerling met 40 goed beantwoorde vragen het cijfer Y = 7,5. Bepaal met de figuur hierboven hoe groot de verschuiving was.
Bereken vervolgens deze verschuiving algebrasch
       

V = 7

  d. Stel een vergelijking op voor de lijnen die horen bij een verschuiving V = 5. Bereken daarmee hoeveel vragen iemand bij verschuiving V = 5 goed moet hebben (van de 50 vragen) om een 8,1 te halen.
       

41

  e. Een leerling heeft 35 van de 50 vragen goed beantwoord. Vooraf staat al vast dat de verschuiving die kan plaatsvinden van V = 0 tot V = 4 mag lopen. Kan deze leerling het cijfer 6,6 behalen? Licht je antwoord toe.
       

NEE

         
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1988.

Een jeugdvereniging krijgt jaarlijks een gemeentesubsidie. Deze subsidie bestaat uit een bedrag per lid en een basisbedrag. Hierbij gebruikt men de formule S = 8x + 5. Hierbij geldt:

 
         
  a. Bereken het aantal leden waarbij de subsidie f 4180,- bedraagt.
       

460

  b. Hoe groot is het basisbedrag en hoe groot is het bedrag per lid in guldens?
       

500 en 8

         
10. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2002.

Voor de levering van leidingwater brengen de waterleidingmaatschappijen elk jaar kosten in rekening. Deze kosten bestaan onder andere uit verbruikskosten, vastrecht en BTW.
In het jaar 1999 gaat de WMO, de Waterleiding Maatschappij Overijssel, bij de berekening van de kosten als volgt te werk:

  • elke m3 water kost 2,45
  • het vastrecht per jaar bedraagt 30,-
  • over de eerste 60,- (inclusief het vastrecht) betaalt de afnemer 6% BTW en over de rest 17,5%.

Voor de berekening van de jaarlijkse kosten K1999 in het jaar 1999 kunnen we een formule opstellen. Deze formule ziet er, vanaf een bepaald jaarlijks verbruik, als volgt uit:   K1999 = 2,87875 x + 28,35

In deze formule is K1999 in guldens en is x het jaarlijkse verbruik van water in m3.
Deze formule is geldig voor elk jaarlijks verbruik, behalve wanneer dit erg laag is. Dat komt door het feit dat men 6% BTW over de eerste 60,- betaalt en over de rest 17,5%.

         
  a. Bereken vanaf welk jaarlijks verbruik de formule voor K1999 geldig is.
       

12,24 m3

  Vanaf het jaar 2000 is de berekeningswijze voor de kosten veranderd. Het BTW-tarief is veranderd en bovendien is er de zogenoemde waterbelasting bijgekomen. Dat is de reden voor de WMO om de afnemers hierover in te lichten. In een folder schrijven zij op welke wijze de kosten in het jaar 2000 berekend zullen worden.
In het jaar 2000 gaat men bij de berekening van de kosten als volgt te werk:
 
  • elke m3 water kost 2,50
  • het vastrecht per jaar bedraagt 30,60
  • over elke m3 water betaalt de afnemer 0,285 aan waterbelasting. Dit geldt alleen voor de eerste 300 m3 water. Het verbruik boven de 300 m3 is vrijgesteld van waterbelasting.
  • Over het totaal van deze bedragen betaalt de afnemer 6% BTW.
  Voor de berekening van de jaarlijkse kosten K2000 in het jaar 2000 moeten we onderscheid maken tussen een jaarlijks verbruik van ten hoogste 300 m3 en een jaarlijks verbruik van meer dan 300 m3.
Wanneer het jaarlijkse verbruik ten hoogste 300 m3 bedraagt dan ziet de formule voor K2000 er als volgt uit:
K2000 = 2,9521 x + 32,436  Ook hier is K2000 in guldens en x het jaarlijks verbruik in m3.
         
  b. Leid deze formule af.
         
   
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)