Limieten voor x → ±∞

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Voor limieten waarbij x naar oneindig gaat heb je wat andere tactieken nodig dan voor limieten waarbij x naar een bepaald getal nadert. Oneindig is namelijk geen getal (al is er wel zo'n "8 op zijn kant"  voor bedacht).

Laten we de twee meest voorkomende varianten bekijken.

 

1.  Quotiënt van Polynomen.

Klinkt goed, toch??
Het betekent niets anders dan:  twee functies met machten op elkaar gedeeld.
Daar staan duidelijk twee functies met machten ("polynomen") die op elkaar gedeeld worden ("quotiënt").

Met een beetje gezond boerenverstand kom je een heel eind.

Kijk dat zit zo:  als x heel heel groot wordt, dan zal de hoogste macht van x bepalen wat er gebeurt. Die x2  en die 4 en de noemer zijn voor erg grote x volledig te verwaarlozen ten opzichte van die 4x3  . En op dezelfde manier is die x in de noemer natuurlijk wel erg groot, maar toch te verwaarlozen ten opzichte van 2x3. (zelfs 10000x zou nog te verwaarlozen zijn; als x maar groot genoeg wordt)
Dat betekent dat er voor erg grote x gewoon in de teller 4x3 staat en in de noemer 2x3 dus daar komt 4/2  = 2 uit.

Oké nu snappen we hoe het werkt, maar hoe noteren we dat een beetje handig?
Dat gaat als volgt:
       

Deel alles door de hoogste macht van x  in de noemer.
       
In dit voorbeeld delen we alles door x3 en dat geeft het volgende:
Daarin gaan al die breuken naar nul, en blijft er over  4/2 = 2. 't Is natuurlijk precies wat die boer hierboven al beweerde, maar zo staat het een beetje netter genoteerd.
       
2.  Wortelvormen.
       
Bij functies met wortels erin kun je het best zoveel mogelijk machten van x buiten de wortel proberen te halen.
Daarbij moet je je wel één ding goed bedenken:
       
       
Dat betekent dat je voor x → ∞  elke keer √(x2) kunt vervangen door x, maar voor x → -∞ moet je √(x2) vervangen door -x. Zo'n wortel moet nou eenmaal positief zijn. Bij bijvoorbeeld √(x4) heb je dat probleem niet, want dat is gewoon x2 en dat is altijd positief.  maar √(x6) is daarentegen weer gelijk aan +x3  of  -x3
Hier zie je hoe het werkt:
       
Voorbeeld 1.
Bij de derde stap is gebruikt dat √(x2) = x omdat x → +∞.  Als x naar  -∞  was gegaan dan had hier -x moeten staan en dan was de limiet gelijk geworden aan -3.
       
Voorbeeld 2.
En nu alles nog weer delen door de hoogste macht van de noemer:
       
Oh ja, waarom deden we dit ook alweer?
       
Die limieten van  x naar  ±∞  worden natuurlijk vooral gebruikt om te onderzoeken of een grafiek horizontale asymptoten heeft. Dat is zo als er uit zo'n limiet een constant getal komt. Zo zal de grafiek van het laatste voorbeeld aan de linkerkant naar de lijn y = -1/2 lopen en aan de rechterkant naar y = 1/2.

In dat vreemde grafiekje hiernaast zie je dat dat inderdaad het geval is.

       
Het is niet altijd feest!
       
Natuurlijk komt er niet altijd zo mooi een constante uit een limiet. Eigenlijk meestal juist niet!  Meestal als x naar oneindig gaat, dan gaat de y óók naar oneindig. Dat noteren we uiteraard als volgt:
       

       
(en natuurlijk kunnen al die "oneindig" ook worden vervangen door "min-oneindig", maar dat spreekt intussen voor zich hoop ik)

Voorbeeld.
Bij de eerste stap is gedeeld door x3 (de hoogste macht van de noemer). Je ziet dat uiteindelijk in de teller 2x + 1 overblijft en dat gaat naar -∞.
       
             
1. Bereken algebraïsch de waarde van de volgende limieten:
             
  a.

-5
e.

-∞
             
  b.

2/3
f.

2
             
  c.

0
g.

bestaat niet
             
  d.

-2√2
h.

2
             
2.
             
3.
  Denk daarbij aan de insluitstelling van de vorige les......
             
         

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)