Gekoppelde rijen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
In de kantine van een groot bedrijf zijn elke dag twee maaltijden te krijgen:  een vegetarische maaltijd en een  vleesmaaltijd.
Een vaste groep van 650 mensen neemt elke dag zo'n maaltijd.
Het blijkt dat van degenen die op een dag vegetarisch eten 85% de volgende dag wéér vegetarisch eet, en dat 15% switcht naar een vleesmaaltijd.
Van de vleeseters op een dag neemt  70% de volgende dag wéér vlees, en 30% gaat over naar vegetarisch.

Als je het aantal vegetarische maaltijden op een dag V(t) noemt, dan hangt dat aantal niet alleen af van het aantal de vorige dag, maar óók van het aantal vleesmaaltijden van de vorige dag. En omgekeerd hangt het aantal vleesmaaltijden N(t) op een dag af van het aantal de vorige dag én van het aantal vegetarische maaltijden de vorige dag. 
De volgende twee vergelijkingen beschrijven dit systeem:  
   
Nt = 0,70Nt - 1 + 0,15Vt - 1
Vt = 0,85Vt - 1 + 0,30Nt - 1
   
Dit heet een stelsel gekoppelde differentievergelijkingen, en ook die kun je natuurlijk makkelijk in de GR invoeren.
Gebruik MODE -  seq  en voer bij  Y=  de beide formules hierboven in.
Hieronder is dat gebeurd voor  N(0) = 600  en  V(0) = 50.
   

   
(in dit voorbeeld is voor het gemak aangenomen dat de aantallen niet geheel hoeven te zijn)
Rechts zie je hoe de grafieken van N(t) en V(t) er uitzien.
   
Evenwicht.

Het lijkt er in het bovenstaande voorbeeld op, dat de aantallen N en V al vrij snel op een stabiele waarde terechtkomen.
Die evenwichtswaarden kun je natuurlijk gemakkelijk berekenen, door te stellen dat dan moet gelden  Nt = Nt - 1 
en  Vt = Vt - 1. Immers dan veranderen de hoeveelheden niet.
Noem die evenwichtswaarden N en V,  dan geven de vergelijkingen van het voorbeeld:  
N = 0,70N + 0,15V  en  V =  0,85V + 0,30N

"Ha, een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden, dat kan ik makkelijk oplossen"  hoor ik je al denken. Maar dat valt hier vies tegen; beide vergelijkingen geven namelijk hetzelfde:  2N = V.

Gesloten systemen.

Gelukkig is er nog een derde voorwaarde, en dat is dat het totaal aantal maaltijdgebruikers in ons systeem constant is, namelijk 650. Er komen geen mensen bij en er gaan geen mensen van af. Dat kon je natuurlijk al wel zien aan die 30%-70% en 85%-15% helemaal aan het begin. Samen beide 100%......
Zo'n systeem heet een gesloten systeem.
Dat geeft een extra vergelijking  N + V = 650.
Samen met 2N = V  komen we dan op  3N = 650  ofwel  N ≈ 217 en  V ≈ 433.

Een directe vergelijking.

Zo'n gesloten systeem maakt het ook erg eenvoudig om een directe vergelijking voor N en V te maken.
Omdat  Nt - 1 + Vt - 1 = 650  geldt  Vt - 1 = 650 - Nt - 1
Invullen in de bovenste vergelijking van ons stelsel geeft  Nt = 0,70Nt - 1 + 0,15 • (650 - Nt - 1)
dat geeft Nt =  0,55Nt - 1 + 97,5
En dat is een oude bekende: een lineaire recursievergelijking, en die hebben we in deze les al behandeld.
Daar was de conclusie:

 

 

E was de evenwichtswaarde.
In dit geval geeft dat de oplossing:  Nt = 3831/3 • 0,55t + 2162/3
   
OPEN SYSTEMEN.
   
In een visvijver bevindt zich een populatie karpers.
We onderscheiden twee soorten karpers:  Jongen (0-1 jaar) en Volwassenen (meer dan 1 jaar). Door het vissen en door natuurlijke sterfte verdwijnt elk jaar 60% van de jonge en van de volwassen karpers. De volwassen karpers krijgen wel nakomelingen:  per karper gemiddeld 0,3 nakomelingen in een jaar.
Verder zet de hengelsportvereniging die de vijver beheert elk jaar 150 nieuwe jonge karpers uit.
Daarmee voldoen de aantallen karpers aan de volgende vergelijkingen:
   
Jt  =  0,3Vt - 1 + 150
Vt  =  0,40Vt - 1 + 0,40Jt -1
   
Dit is een open systeem omdat het totaal aantal karpers niet steeds hetzelfde hoeft te zijn. Er verdwijnen karpers uit het systeem en er komen van buiten nieuwen bij.
Stel dat we beginnen met een populatie van 200 volwassen karpers en 200 jonge karpers. Dan geeft onze GR het volgende:
   

   
Ook hier lijken de aantallen Jongen en Volwassenen naar een evenwichtswaarde te lopen. Die is natuurlijk eenvoudig uit de vergelijkingen te berekenen:   J = 0,3V + 150  en   V = 0,4V + 0,4J  geeft als oplossing  V = 125 en J ≈ 188
Let op het verschil met een gesloten systeem:  hier volgen de evenwichtswaarden direct uit de twee vergelijkingen. (Bij een open systeem waren de twee vergelijkingen niet op te lossen maar hadden we een extra derde voorwaarde dat het totaal constant moest zijn).
Het is overigens niet gegarandeerd dat zo'n theoretisch evenwicht ook werkelijk bereikt wordt. Als je bijvoorbeeld de 0,3 nakomelingen verandert in 1,6 dan nemen de aantallen karpers steeds meer toe, zoals je hiernaast ziet. 

(in dit geval is de wiskundige evenwichtssituatie:  V = -1500 en J = -2250 en dat is natuurlijk geen reële situatie)

   
 
 
  OPGAVEN
   
Bij al de volgende opgaven hoef je er geen rekening mee te houden dat aantallen gehele getallen moeten zijn.
   
1. Onder de bevolking van een stad  (5500 mensen in de arbeidzame leeftijd)  heerst grote werkeloosheid.
Natuurlijk proberen werkeloze mensen zo snel mogelijk werk te vinden, maar ook van de werkende mensen wordt steeds weer een deel werkeloos. Men houdt een aantal maanden de aantallen bij en komt tot de volgende gegevens:
  • Elke maand wordt 12% van de werkende mensen werkeloos, de rest blijft werkend.
  • Van de werkeloze mensen vindt elke maand van de werkeloze mensen 15% werk, de rest blijft werkeloos.
       
  a. Stel een stelsel differentievergelijkingen op dat de aantallen werkelozen (A) en werkenden (B) beschrijft.
       
  b. Als nu van de bevolking 4000 mensen werkt en 1500 werkeloos is, hoe zal dat dan over een  jaar zijn?
       
  c. Hoe zal de evenwichtssituatie van deze 5500 mensen worden?
       
  d. Stel een directe formule op voor  A(t) als  A0 = 4200
       
2. Een tweejarige opleiding, vaak een Associate degree (AD) genoemd, is een praktijkgerichte hbo-studie die een erkend niveau-5 diploma biedt. Het niveau ligt tussen mbo-4 en een bacheloropleiding, gericht op snelle doorstroom naar de arbeidsmarkt. NHL Stenden Hogeschool organiseert bijvoorbeeld de tweejarige opleiding Creative Media Professional.
Van deze opleiding zijn de volgende gegevens bekend:
  • 65% van de eerstejaars gaat over naar het tweede jaar, 10% gaat het eerste jaar overdoen en 25% verdwijnt van de opleiding
  • Van de tweedejaars haalt  80% het diploma, 10% gaat het tweede jaar overdoen en 10% verdwijnt van de opleiding 
  • In totaal is er plaats voor 2400 studenten, dus elk jaar neemt men zoveel nieuwe eerstejaars aan als er plek is (er is altijd een wachtlijst).
   
  Voor het aantal eerstejaars (E) en het aantal tweedejaars (T) studenten gelden dan de volgende vergelijkingen:
       
 
Et = 2400 - 0,1Tt - 1 - 0,65Et - 1
Tt = 0,1Tt - 1 + 0,65Et - 1
       
  a. Toon aan dat deze vergelijkingen gelden.
       
  Op dit moment zijn er 1200 eerstejaars en 200 tweedejaars.
       
  b. Onderzoek hoe de situatie over 6 jaar zal zijn
       
  c. Bereken algebraïsch hoe de evenwichtssituatie zal zijn.  
       
  d. Stel een derde differentievergelijking op voor het totaal aantal afgestudeerden vanaf nu (met een diploma) dat deze opleiding in totaal zal hebben afgeleverd, en bepaal met je GR wanneer dat voor het eerst meer dan 3000 zal zijn
       
3. Het aantal grote-roodnek ooievaars in de provincie Groningen neemt de laatste jaren nogal sterk toe. Van deze ooievaars is bekend dat ze maximaal 15 jaar oud kunnen worden.
Er zijn drie leeftijdscategorieën te onderscheiden:
•  jong (0 - < 5 jaar)
•  volwassen  (5 - < 10 jaar)
•  oud  (10 - < 15 jaar)

De volgende gegevens zijn bekend:
  • elke 5-10 jarige brengt elke 5 jaar gemiddeld drie jongen jong voort.
  • elke 10-15 jarige brengt elke 5 jaae gemiddeld 1,5 jong voort.
  • van de 0-5 jarigen overleeft in deze 5 jaar 40%
  • van de 5-10 jarigen overleeft in deze 5 jaar 15%
       
  Op dit moment (dag 0)  zijn er  van elke soort 1200 exemplaren
       
  a. Stel een stelsel van drie recursievergelijkingen op en onderzoek met je GR hoe de aantallen over 20 jaar zullen zijn als dit patroon zo doorgaat.
       
  Zoals je bij a) hebt gezien sterft de populatie uit. Door het aantal jongen van 1,5 hoger te maken kun je ervoor zorgen dat de populatie niet uitsterft.
     
  b. Onderzoek hoe groot (één decimaal nauwkeurig) het aantal jongen dat een 10-15 jarige gemiddeld voortbrengt moet worden om ervoor te zorgen dat de populatie niet uitsterft.
       
4. De consumentenbond onderzoekt of supermarktgebruikers van melkpakken vaker het huismerk (H) kopen of een ander merk (A)
Men onderzoekt dat gedurende langere tijd bij een grote groep van 2400 supermarktbezoekers.

Men komt tot het volgende model:

H(t) = 0,80H(t – 1) + 0,16A(t - 1)
A(t) = 0,12H(t - 1) + 0,78A(t - 1)

H is het aantal buismerk melkkopers, A het aantal andere-merk melkkopers,  en t de tijd in weken.
In het begin geldt  H(0) = 1600 en A(0) = 800

Voor deze opgave hoef je er geen rekening mee te houden dat het aantal mensen geheel moet zijn.

Het aantal mensen dat helemaal geen melk meer koopt neemt in de loop van de tijd toe.
       
  a. Leg uit hoe je dat direct aan deze vergelijkingen kunt
       
  b. Bereken na hoeveel maanden het aantal mensen dat geen melk meer koopt voor het eerst meer dan 60% van de groep is.
       
  c. Schets de grafiek met H op de x-as en A op de y-as voor de weken 0 tm 52.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)