Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Bij al de volgende opgaven hoef je er geen rekening mee te houden dat aantallen gehele getallen moeten zijn.

Onder de bevolking (10000 mensen) van een eiland is een merkwaardige ziekte uitgebroken die zich kenmerkt door de volgende gegevens:

•

Elke week wordt 20% van de gezonde mensen ziek, de rest blijft gezond.

•

Van de zieke mensen geneest in een week 30% en blijft 70% ziek.

Stel een stelsel differentievergelijkingen op dat de aantallen zieken (Z) en gezonden (G) beschrijft.

Als nu van de bevolking 1000 mensen ziek is en 9000 gezond, hoe zal dat dan over 8 weken zijn?

Hoe zal de evenwichtssituatie van deze 10000 mensen worden?

Stel een directe formule op voor G(t) als G₀ = 9000

Van een zware tweejarige particuliere opleiding zijn de volgende gegevens bekend:

•

60% van de eerstejaars gaat over naar het tweede jaar, 20% gaat het eerste jaar overdoen en 20% verdwijnt van de opleiding

•

Van de tweedejaars haalt 70% het diploma, 20% gaat het tweede jaar overdoen en 10% verdwijnt van de opleiding

•

In totaal is er plaats voor in totaal 1400 studenten over beide jaren, dus elk jaar neemt men zoveel nieuwe eerstejaars aan als er plek is (er is altijd een wachtlijst).

Voor het aantal eerstejaars(E) en het aantal tweedejaars (T) studenten gelden dan de volgende vergelijkingen:

E_t = 1400 - 0,2T_{t
- 1} - 0,6E_{t
- 1}
T_t = 0,2T_{t
- 1} + 0,6E_{t - 1}

Toon aan dat deze vergelijkingen gelden.

Op dit moment zijn er 1200 eerstejaars en 200 tweedejaars.

Onderzoek hoe de situatie over 6 jaar zal zijn

Bereken algebraïsch hoe de evenwichtssituatie zal zijn.

Stel een derde differentievergelijking op voor het totaal aantal afgestudeerden vanaf nu (met een diploma) dat deze opleiding in totaal zal hebben afgeleverd, en bepaal met je GR wanneer dat voor het eerst meer dan 3000 zal zijn

De driedagsvlieg is een insect dat drie dagen leeft. We beschouwen van een populatie vliegen daarom ééndagige vliegen (E) tweedagige vliegen (T) en driedagige vliegen (D)
De volgende gegevens zijn bekend:

•

elke tweedagige brengt gemiddeld één jong voort.

•

elke driedagige brengt gemiddeld 0,6 jong voort.

•

ééndagigen hebben 50% kans om de dag te overleven en tweedagige te worden

•

tweedagigen hebben 40% kans om de dag te overleven en driedagige te worden.

Op dit moment (dag 0) zijn er van elke soort 2000 exemplaren

Stel een stelsel van drie recursievergelijkingen op en onderzoek met je GR hoe de aantallen over 10 dagen zullen zijn.

Zoals je bij a) hebt gezien sterft de populatie uit. Door het aantal jongen van 0,6 hoger te maken kun je ervoor zorgen dat de populatie niet uitsterft.

Onderzoek hoe groot (één decimaal nauwkeurig) het aantal jongen dat een driejarige gemiddeld voortbrengt moet worden om ervoor te zorgen dat de vliegenpopulatie niet uitsterft.

Een reclamebureau onderzoekt welke soort cola er gedronken wordt door een grote testgroep van 3500 consumenten. Men kijkt gedurende langere tijd naar het gebruik van de soorten Coca-Cola en Pepsi Cola, en komt tot het volgende model:

C(t) = 0,85C(t – 1) + 0,12P(t - 1)
P(t) = 0,10C(t - 1) + 0,82P(t - 1)

C is het aantal Coca-Cola drinkers, P het aantal Pepsi-Cola drinkers en t de tijd in maanden.
In het begin geldt C(0) = 1200 en P(0) = 1800

Voor deze opgave hoef je er geen rekening mee te houden dat het aantal mensen geheel moet zijn.

Het aantal mensen dat geen van deze twee merken drinkt neemt in de loop van de tijd toe.

Leg uit hoe je dat direct aan deze vergelijkingen kunt zien.

Bereken na hoeveel maanden het aantal mensen dat geen van beide merken drinkt voor het eerst meer dan 80% van de groep is.

Schets de grafiek met C op de x-as en P op de y-as voor de maanden 0 tm 100.

MEER OPGAVEN

VN secretaris Generaal Ban Ki-Moon had het een aantal jaar geleden niet makkelijk om de twee aartsvijanden Bush (de president van Amerika) en Talabani (de president van Irak) dichter tot elkaar te brengen. Maar na lang piekeren had hij, met zijn kennis van gekoppelde differentievergelijkingen een oplossing gevonden. Het gaat naar Talabani en Bush met het volgende voorstel:

Irak brengt elk jaar de uitgaven aan defensie terug tot 60% van de uitgaven van het jaar ervoor (dus vermindering van 40%). Maar om Amerika aan te moedigen ook te ontwapenen mag Irak vervolgens de uitgaven weer vermeerderen met 45% van het budget van Amerika het jaar ervoor. Amerika zal hetzelfde doen met de percentages 55% (overhouden van eigen budget) en 40% (van het budget van Irak erbij)

Op dit moment geldt A₀ = 2500 en I₀ = 500

Stel een stelsel differentievergelijkingen op die dit systeem beschrijven. Leg daarna duidelijk uit hoe je aan dit stelsel kunt zien dat het hier een gesloten systeem betreft, en bereken de evenwichtswaarden.

Natuurlijk gingen Talabani en Bush niet direct akkoord. Na lang onderhandelen werd besloten tot het volgende stelsel vergelijkingen:

A_n = 0,7A_{n
- 1} + 0,6I_{n - 1}
I_n = 0,4I_{n
- 1} + 0,3A_{n - 1} + 100
met A₀ = 2500 en I₀ = 500

A = budget van Amerika, I = budget van Iran en alle bedragen zijn in miljoenen.

Hoe groot zullen de uitgaven van Amerika en Irak op n = 10 zijn?

Onderzoek of er een evenwichtssituatie zal ontstaan. Doe dat zowel met je GR als algebraïsch.

Voor de wereldvrede zou het echter veel beter zijn om het volgende systeem te gebruiken:

A_n = 0,57A_{n
-1} + 0,76I_{n - 1}
I_n = 0,19I_{n
- 1} + 0,38A_{n - 1}
met A₀ = 2500 en I₀ = 500

Met deze vergelijkingen zal het totale wapenbudget van beide landen samen (A + I) elk jaar met 5% afnemen.

Toon dat algebraïsch aan.