Vereenvoudigen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Laten we voor de verandering maar eens beginnen met wat lekkere rekenopgaven.
1. Bereken:
a. 3 • 4 = c.  8 • 7 = e. 12 • 2,5 =
b. 4 • 3 = d.  7 • 8 = f. 2,5 • 12 =
2. Bereken:
a. 2 • 4 • 5 = d. 5 • 6 • 9 = g. 2 + 3 • 4 = 
b. 4 • 2 • 5 = e. 6 • 9 • 5 = h. 3 + 4 • 2 =
c. 5 • 2 • 4 = f. 9 • 6 • 5 = i. 4 + 3 • 2 =
Is het idee achter deze opgaven al een beetje duidelijk geworden?
Ik hoop dat je het volgende hebt gemerkt:
bij vermenigvuldigen doet de volgorde er niet toe.
(Alleen bij de opgaven 2ghi  kreeg je wιl verschillende antwoorden, maar daar werd ook aan optellen gedaan, en niet allιιn maar aan vermenigvuldigen zoals bij die andere opgaven).

Maar omdat dingen die met elkaar vermenigvuldigd worden steeds in hetzelfde blokje zitten betekent dat automatisch dat we binnen ιιn blokje de volgorde zelf mogen bepalen.
Dus in plaats van 3 • 6 • 8 mag  je ook wel opschrijven  6 • 8 • 3, en als je het uitrekent mag je zιlf weten wat je eerst doet.
En omdat letters σσk eigenlijk getallen zijn (alleen nog onbekend) mag je in plaats van  2 • x • 3  ook wel schrijven
2 • 3 • x.  Omdat je ook hier zelf mag weten wat je eerst doet, kun je dus best alvast 2 • 3 uitrekenen. Je kiest er gewoon voor om dat eerst te doen.
Dan staat er namelijk in plaats van 2 • 3 • x  ineens  6 • x  ofwel  6x  en dat ziet er een stuk eenvoudiger uit.
Conclusie:

binnen ιιn blokje mag je alvast alle getallen met elkaar vermenigvuldigen.

(de letters daar  kun je niks mee, want je weet niet welk getal ze zijn)

• Wiskundigen zijn nette mensen en die zijn gewend om van ιιn zo'n blokje het getal  vooraan te zetten en de letters daar achter op alfabetische volgorde. Netjes toch?
Ze vinden dus  3ab stukken mooier dan  a3b  en ook  is  5xy zelfs al ietsje mooier dan 5yx
3. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk:
a. 2 • 3 • x  + 5 • y • 4

6x + 20y

b. p • 3 • 8 • 4 + 4 • q • 3

96p + 12q

c. 2 • m • 8 - 3 • 4 • n

16m - 12n

d. 2 • 2 • x + 5 • y • 3 + 5 • 6 • z • 2  

4x + 15y + 60z

e. 3 • 6 • k  + 4 • 5 • 2

18k + 40

f. 3 • x • 4 • y  + 5 • z • 3 • p • 2

12xy + 30pz

Blokjes samennemen.
Kijk eens naar de volgende uitspraken:
a. Als je 6 keer een prijs wint en daarna nog 4 keer een prijs, dan heb je in totaal 10 keer een prijs gewonnen.
b. Als je 2 glazen bier drinkt en daarna nog 5 glazen bier, dan heb je in totaal 7 glazen bier gedronken.
c. Als je 5 keer een boete krijgt en daarna nog 3 keer struikelt, dan....heb....je....???
d. Als je 2 km loopt en daarna nog 3 km, dan heb je in totaal 5 km gelopen.
e. Als je 12 mensen een hand geeft en daarna nog 7 puzzels oplost dan.... dan.....  heb je......???

f.

Als je 8 briefjes van €5,- betaalt en daarna 10 briefjes van €5,- dan heb je in totaal 18 briefjes van €5,- betaald.

g.

Als je 3 weken ziek bent en daarna  2 boterhammen eet, dan....tja... dan wαt?....????

De moraal van deze voorbeelden is, denk ik:
 "Je mag de aantallen van dingen bij elkaar optellen als die dingen hetzelfde zijn, en anders niet!"
Bij a, b, d, f ging het steeds  om hetzelfde, bij c, e, g  ging het om verschillende dingen die je bij elkaar wilt nemen.

Precies hetzelfde geldt voor onze blokjes!

Die dingen (in ons geval de letters in de blokjes) moeten hetzelfde zijn!

Regel 1:  Je mag blokjes samennemen als de letters precies gelijk zijn

   
   
Hoe gaat dat samennemen in z'n werk?
Dat heb je in bovenstaande voorbeelden waarschijnlijk al wel ontdekt. Neem of doe je bijvoorbeeld 5 keer "iets" plus nog 8 keer "iets" dan heb je in totaal 13 keer "iets" gedaan of genomen.

In die zwarte doos mag alles zitten, zolang in alle dozen maar precies hetzelfde zit.
Als er x in zit, dan staat hier bijvoorbeeld  5x + 8x = 13x.  Maar als er  ab in zit dan staat hier  5ab + 8ab = 13ab.
Bedenk goed dat onze blokjes er zo uitzien:

Bij het samennemen van de twee blokjes aan de linkerkant tel je dus de cijfers bij elkaar op, en je schrijft de rest (de zwarte doos) ιιn keer over.
Regel 2: bij het samennemen van twee blokjes:
•  Tel de getallen bij elkaar op.
•  Schrijf de letters ιιn keer over.

   
   

blokjes

   

mintekens

   
OPGAVEN
4. Vereenvoudig zo veel mogelijk:
a. 2a + 3 + 4a + 6

6a + 9

f. 8k + 2k + 5 + 6k

16k + 5

b. 4p + 5 + 6p 

10p + 5

g. 2x + 3y + 4x + 2y

6x + 5y

c. 3x + 4x + 5 + 8

7x + 13

h. 3u + 4 + u + 2

4u + 6

d. 2q + 2q + 2q

6q

i. 2x + 4x + 5 + x + 6

7x + 11

e. 3m + 2n + 4m + 5

7m + 2n + 5

j. 14a + 2b + b + 4 + 2a

16a + 3b + 4

5. Vereenvoudig zo veel mogelijk:
a. 2ab + 3a + 4ab

6ab + 3a

e. 4p + 2q + 3pq + 5p

9p + 2q + 3pq

b. 4xy + 2y + 2xy + 4

6xy + 2y + 4

f. 8 + 2ab + 3a + 4ab + 4

6ab + 3a + 12

c. pq + 2p + 3p + 4pq

5pq + 5p

g. 2m + 3mn + 4n + m + 5n

3m + 9n + 3mn

d. 3yx + 5xy + 4 + 2xy

10xy + 4

h. 2 + 4yx + 5xy + 3 + xy  

5 + 10xy

6. Vereenvoudig zo veel mogelijk:
a. 2a • 4 + 4 • a • 3 + 3 • a

23a

d. p • q • 3 + q • 5 • p + 3p

8pq + 3p

b. x • 5 + 6 + 4 • x • 2 + 8

13x + 14

e. 2abc + 3ab + 4bac + 4ba

6abc + 7ab

c. 2x • 2 • 3 + 5 + 8 • x

20x + 5

f. 12 + 2xy + 3x • 2y + 8

8xy + 20

               
               

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)