werken met wortels


Werken met Wortels.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Eerst even iets over de notatie met wortels.
Ook met wortels zijn blokjes mogelijk. Dat kun je op twee manieren noteren.
Op de eerste plaats kun je natuurlijk haakjes gebruiken: dat maakt er automatisch één geheel van. Maar je kunt ook een streep boven het wortelteken doortrekken. Dit betekent precies hetzelfde:

Het is beide één blokje.

Bij het werken met wortels is het erg belangrijk om in de gaten te houden wat er wel en wat er niet mag.
Er zijn twee hoofdregels:

regel 1:	Je kunt niet de wortel uit een negatief getal nemen
regel 2:	De wortel uit een getal is altijd positief.

De eerste regel lijkt me vrij logisch. Je weet dat wortel nemen het omgekeerde van kwadrateren is. Omdat er uit een kwadraat geen negatief getal kan komen, kan een wortel van een negatief getal dus niet bestaan. Als je √(-3) wil uitrekenen dan zoek je het getal dat keer zichzelf -3 oplevert. Maar dat bestaat niet. Als je een getal keer zichzelf doet komt er altijd een positief getal uit! Dat kan nooit -3 worden!!!

De tweede regel is wat lastiger. Als je wortel ziet als omgekeerde van kwadraat, dan zeg je dus bijvoorbeeld √9 = 3 want 3² = 9. Maar ja, dan kun je net zo goed zeggen √9 = -3 want (-3)² = 9, dat klopt immers óók.
Maar ja, dan zou er uit √9 zowel 3 als -3 kunnen komen.

Dat vinden wiskundigen heel irritant......

Ze willen graag dat er uit elke bewerking (dat noemen ze trouwens een functie) maar één antwoord komt.
De fabrikant van je rekenmachine vindt dat trouwens ook wel prettig. Het zou nogal lastig zijn als je √9 intoetst dat er dan TWEE antwoorden in het venster moeten komen!!
Daarom hebben "we" met elkaar afgesproken dat de wortel van een getal altijd positief is.
Dus eigenlijk moeten we bovenstaande regels veranderen in een regel en een afspraak:

regel:	Je kunt niet de wortel uit een negatief getal nemen.
afspraak:	De wortel uit een getal is altijd positief.

rekenen met wortels

Kijk wat er gebeurt als we √5 • √3 in het kwadraat nemen:

Hier staat eigenlijk:

De enige mogelijke conclusie is dat √5 • √3 = √15.

En met letters werkt het natuurlijk precies zo, dat heb je hopelijk intussen al wel door.

√a • √b = √(ab)

De regel mag je natuurlijk ook andersom lezen. Zo kun je bijvoorbeeld zien dat √(4x) = √4 • √x = 2√x
En omdat delen wiskundig gezien eigenlijk bijna hetzelfde is als vermenigvuldigen (delen door 4 is immers vermenigvuldigen met 0,25?) mag het ook bij delen:

Maar wat met vermenigvuldigen wél mag, is met optellen of aftrekken streng verboden. Als er onder de wortel wordt opgeteld of afgetrokken dan kun je niet vereenvoudigen.
Daar moet je afblijven.
Dat moet je gewoon laten staan.
En toch gaat dat vaak fout. Ik snap dat wel, dat komt doordat we zoveel met haakjes hebben geoefend. Daar moesten we steeds boogjes maken om ze weg te werken. Geef toe, dit is wel erg aantrekkelijk om met elkaar te vergelijken:

De eerste is goed maar de tweede is de grootste flauwekul!!!!
Dan krijg je bijvoorbeeld onzin als √2 = √(1 + 1) = √1 + √1 = 1 + 1 = 2 jaja: dus √2 = 2......???
Trap daar niet in! Zo'n wortel mag je niet verdelen over losse dingen die er onder staan.

√(a + b) = ??????

Iets buiten de wortel halen.

Die regel van √(ab) = √a • √b   is erg handig, maar je moet er wel mee uitkijken....
Met getallen gaat het meestal wel goed, kijk maar:   √(48) = √(16 • 3) = √16 • √3 = 4√3.
Niks aan de hand.
Geen vuiltje aan de lucht...

Maar met letters kun je wel eens in de problemen komen:   √(5x²) = √5 • √(x²) = √5 • x    ??????
Lijkt logisch niet?
Maar kijk wat er gebeurt als we bijvoorbeeld nemen x = -2, dan is 5x² = 5 • 4 = 20.
Met x = -2 staat er dan   √20 = √5 • -2
Maar dat KAN NIET KLOPPEN, want links staat een wortel en die is positief, en rechts staat iets dat negatief is!!!
Dat kan nooit gelijk zijn!

Wáár oh wáár hebben we een fout gemaakt?

Het zit hem allemaal in die √(x²).
Die is niet altijd gelijk aan x.
Als je een getal in het kwadraat neemt, en daarna er weer de wortel van neemt, dan hoeft niet het getal zelf er weer uit te komen. Voor negatieve getallen klopt dat niet. Kijk maar: (-3)² = 9 maar √(9) = 3
Het zit hem allemaal in die afspraak dat een wortel positief moet zijn.

Dus: √(x² ) = x maar x moet wel positief zijn. Als hij negatief is moet je hem positief maken.
Wiskundigen hebben daar uiteraard weer een notatie voor verzonnen:

En die rechte strepen betekenen "maak het positief" .

Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk; zorg dat er een zo klein mogelijk (geheel) getal onder het wortelteken staat.

√(54)

3√6

√(80)

4√5

√(300)

10√3

√(108)

6√3

√(56)

2√14

√(252)

6√7

√(18)

3√2

√(98)

7√2

GOED of FOUT?

√(36x) = 6√x

GOED

√x + √x = √(2x)

FOUT

√(9 + x) = 3 + √x

FOUT

√(4 + x) • √(4 + x) = 16 + x

FOUT

√(x)• √(x + 1) = √(x² + 1)

FOUT

√(x + x + 2x) = 2√x

GOED

√(x) + √(2x) = √(3x)

FOUT

√(9x) - √(4x) - √(x) = 0

GOED

Door de wortels kleiner te maken kun je de volgende uitdrukkingen veel eenvoudiger schrijven. Doe dat.

√(28) + √(112)

6√7

√(45) + √(80)

7√5

√(50) - √(18)

2√2

√(18) - √(32) + √(2)

Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk:

√(x⁴)

x²

√(x² + 2x + 1)

|x + 1|

√(2x + 7x)

3√x

(x√x)⁴

x⁶

√(x³+ 3x²)

|x|√(x + 3)

√(4x² + 2x²)

|x|√6

|x|

√(x² + 9)

kan niet korter

Wat moet er op de stippeltjes staan?

√(3) + √(....) = √(48)

√(x) + √(16x) = √(....)

25x

Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2013.

Voor het berekenen van de lichaamsoppervlakte bij kinderen worden vooral de volgende twee formules gebruikt:

In deze formules is S de lichaamsoppervlakte in m², L de lichaamslengte in cm en M het lichaamsgewicht in kg.
Om de formules beter met elkaar te kunnen vergelijken is het handig om de formule van Mosteller in dezelfde vorm te schrijven als de formule van Haycock.

Schrijf de formule van Mosteller in de vorm S = c • L^a • M^b en licht toe hoe je je antwoord gevonden hebt.


a.	Toon aan dat dat inderdaad zo is

b.