© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Eenvoudige kwadratische vergelijkingen.
       
DEEL 1.  één x

Tja, als er dan toch "eenvoudig"  in de titel van deze les staat, zullen we dan maar beginnen met de allereenvoudigste kwadratische vergelijking die er is?

Dat is een simpele vergelijking als deze:
       

x2 = 16
       
Waarschijnlijk zul je wel zien dat oplossing is dat x = 4.  Die bereken je gewoon door de wortel van 16 te nemen.
Op dezelfde manier zou x2 = 8  opleveren dat  x = √8

En toch is dat FOUT!!!

Nou ja, fout....

Kijk, als wiskundigen vragen om de oplossing van een vergelijking dan willen ze graag ALLE mogelijke oplossingen horen.
En die x = 4 is niet de enige oplossing van x2 = 16.
Er is nog een oplossing, namelijk x = -4.  Ga maar na dat (-4)2 ook gelijk is aan 16.
Die moet je ook noemen.
Op dezelfde manier heeft de vergelijking  x2 = 8  de twee oplossingen  x = √8  en  x = -√8
Eigenlijk hebben vergelijkingen als x2 = ... dus altijd twee oplossingen (+ en -)
       

x2 = p   ⇒  x = √p  of  x = -√p
       
Moeilijkmakerij 1
       
Rondom die x2 kunnen nog allerlei andere getallen staan.
Bijvoorbeeld de vergelijking   5x2 - 8 =  37
Dan kun je niet zomaar in het wilde weg wat wortels gaan nemen.
Je moet eerst met de balansmethode die x2 alleen krijgen.

Dat gaat zó:

5x2 - 8 =  37
tel bij beide kanten 8 op:   5x2 = 37 + 8 = 45  dus  5x2 = 45
deel beide kanten door 5:   x2 = 9
en dan zijn we weer bij het wortel-nemen:  x = 3   ∨   x = -3
       
Moeilijkmakerij 2
       
In plaats van x mag er ook wel wat anders staan. En dan bedoel ik niet iets flauws als  y2 = 16 of zo.
Nee, er kan ook wel een soort mini-formuletje staan
Bijvoorbeeld:   (3x - 2)2 = 9
Zie dat formuletje dan even als één geheel.  Doe alsof hierboven staat   (iets)2 = 9. En daarvoor geldt natuurlijk dezelfde regel als hierboven.
       

(iets)2 = p   ⇒   iets  = √p    of    iets = -√p
       
In dit geval geeft dat   (3x - 2) = 3   of   (3x - 2) = -3
En die kun je apart verder oplossen:
3x - 2 = 3 ⇒ 3x  = 5   ⇒  x = 5/3
3x - 2 = -3  ⇒  3x = -1 ⇒  x = -1/3 

Natuurlijk kun je beide moeilijkmakerijen ook heel goed combineren:

Voorbeeld:   Los op:   2 • (2x + 6)2 - 20 = 180
Oplossing:
2 • (iets)2 - 20 = 180
2 • (iets)2 = 200
(iets)2 = 100
iets = 10  ∨  iets = -10
2x + 6 = 10  ∨   2x + 6 = -10
2x = 4   ∨   2x = -16
x = 2  ∨  x = -8
       
Moeilijkmakerij 3
       
Soms staan er meerdere x-en in een opgave maar kun je die samennemen zodat je toch uiteindelijk één x krijgt. Dan "werkt" dit systeem dus ook!

Voorbeeld.    Los op:   (x + 2)2  =  12 - 2(x + 2)2
Oplossing:
(iets)2 = 12 - 2(iets)2   waarbij die beide "ietsen" wel hetzelfde zijn, anders werkt deze methode niet!!
3(iets)2 = 12
(iets)2 = 4
iets = 2 ∨  iets = -2
x + 2 = 2 ∨  x + 2 = -2
x = 0   ∨   x = -4
       
DEEL 2:  Ontbinden.
       
Als er meerdere x-en in een vergelijking staan, en je kunt die niet zoals hierboven makkelijk samennemen, dan zul je wat nieuws moeten verzinnen.
Een mogelijkheid is af en toe de vergelijking te ontbinden in factoren. Hoe dat precies moet staat uitgebreid uitgelegd in les A8. maar kort gezegd komt het op het volgende neer:
       

probeer "dubbelen" te vinden en zet die buiten haakjes
gebruik dan  A • B = 0  ⇒  A = 0  ∨  B = 0
       
Voorbeeld van hoe het werkt? 

Voorbeeld:   Los op:   2x2 - 5x = 0
Ik zie daar in beide blokjes aan de linkerkant een x "dubbel" zitten, dus haal ik die buiten haakjes:  x(2x - 5) = 0
Die kan ik dan splitsen in  x = 0  ∨  2x - 5 = 0
Dat geeft eenvoudig dat  x = 0  ∨  x = 21/2  

Soms moet je eerst wat voorbereidend werk doen voordat je kunt ontbinden, zoals haakjes wegwerken of eerst alles naar één kant brengen zodat er  " = 0 "  komt te staan. Kijk maar;

Voorbeeld:  Los op:   6x + 3x2 = x2 + 8x
 6x + 3x2 = x2 + 8x  moet je eerst op nul herleiden:   6x + 3x2 - x2 - 8x = 0  ⇒  2x2  - 2x  = 0
En nu kun je ontbinden:   2x(x - 1) = 0  ⇒   2x = 0  ∨   x - 1 = 0   ⇒   x = 0  ∨  x = 1

Voorbeeld:   Los op:    2x(x - 5) = 4x2 + x
Haakjes weg:   2x2 - 10x = 4x2 + x
Herleiden op nul (alles naar links):   2x2 - 10x -  4x2 - x = 0  ⇒   -2x2 - 11x = 0
Ontbinden:   -x(2x + 11) = 0  ⇒   -x = 0  ∨   2x + 11 = 0  ⇒  x = 0  ∨   x = -51/2  

Voorbeeld:  Los op:   (x + 2)2  = 6x + 4
Haakjes weg:  (x + 2)(x + 2) = 6x + 4  ⇒   x2 + 2x + 2x + 4 = 6x + 4
Herleiden op nul  (alles naar links):   x2 + 2x + 2x + 4 - 6x - 4 = 0  ⇒  x2 - 2x = 0  
Ontbinden:   x(x - 2) = 0  ⇒   x = 0  ∨  x = 2

Ik hoop dat het je opvalt dat we in dit laatste voorbeeld wel mazzel hebben gehad.  Zie je waarom?
Mazzel dat die +4 en -4 in de één na laatste regel tegen elkaar wegvielen!
Het lijkt wel alsof de opgave erop gemaakt is!!!
Als dat namelijk niet was gebeurd, en er was nog een gewoon los getal in de vergelijking overgebleven, dan hadden we geen dubbele (x) kunnen vinden. Een vergelijking als bijvoorbeeld  x2 - 2x + 3 = 0  valt op deze manier niet op te lossen!

Daarvoor hebben we een latere les nodig.......

   
  OPGAVEN
   
1. Los algebraïsch op:
             
  a. 3x2 - 4x = 8x - 2x2

0 en 12/5
e. 2x(x + 3) = 7x2 + 6x - 10

±√2
             
  b. 2x(x + 1) = 6x2

0 en 1/2
f. (x - 3)2 + 1 = 8x + 10

0 en 14
             
  c. 4x2 + x(x - 1) = 5x

0 en 6/5
g. 2x2 - 9 =  4x - (x + 3)2

0 en -2/3
             
  d. 5x2 + 8 = 12 - 2x2

±√4/7
h. 3(x - 2)2  = 6 + (x - 2)2

2 ±√3
             
   
2. Examenvraagstuk  VWO, Wiskunde B, 2013.
       
  Op het domein [0, 4] is de functie f gegeven door  f(x) = 8 - 1/2x2.
De randpunten van de grafiek van f zijn P(0, 8) en Q(4, 0). Zie de figuur.
Verder is gegeven een lijnstuk PR met eindpunten P(0, 8) en R(a, 0) , waarbij a > 4. In de figuur is voor een waarde van a ook het lijnstuk PR getekend.

Er is een waarde van a waarvoor de grafiek van f en het lijnstuk PR elkaar snijden in het midden van PR.

Bereken exact deze waarde van a.
     
   

a = √32
       
3. examenopgave HAVO wiskunde B, 2016-II
       
  De functie f is gegeven door   f(x) = (x2 - 7)2 - 25.  De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Zie de figuur.
       
 

       
  Lijnstuk AD is langer dan lijnstuk BC. Bereken exact hoeveel keer zo lang.
     

√6 keer
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)