© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De oppervlakte van een cilindermantel.
   
De mantel is het gekromde vlak van een cilinder. De oppervlakte ervan kun eenvoudig berekenen als je je bedenkt dat het uitgevouwen een rechthoek is.
De ene zijde van die rechthoek is gelijk aan de hoogte van de cilinder. De andere zijde is gelijk aan de omtrek van de boven- of ondercirkel van de cilinder, en dat is 2πr als r de straal is.

Dat geeft een totale oppervlakte van 2πrh
   
De oppervlakte van een kegelmantel.
De mantel van een kegel is het gekromde oppervlak ervan.
De oppervlakte ervan kun  je het best berekenen door hem uit elkaar te knippen, bijvoorbeeld langs de stippellijn PT hiernaast.

Als je dat doet, dan krijg je een soort PACMAN-figuurtje:  een cirkel met een stuk eruit. De oorspronkelijke top van de kegel is het middelpunt van de cirkel.

Waarom is dat exact een cirkeldeel?
Vanwege de symmetrie van de kegel is de kortste afstand van een punt P op de grondcirkel naar de top T voor iedere P hetzelfde. Dat betekent dus ook dat de afstand van de rand van de uitslag naar punt T voor ieder punt op die rand gelijk is. En hoe heet ook alweer de figuur die bestaat uit alle punten die gelijke afstand hebben tot een punt T?  Juist! Een cirkel!!!
Om dat oppervlakte van het cirkeldeel te bepalen moet je goed kijken naar de twee gekleurde lijnen hiernaast. De twee rode lijnen zijn even lang, en de twee blauwe lijnen ook!
Controleer het maar door de kegel in gedachten weer in elkaar te vouwen.

Stel dat de hoogte van de kegel gelijk is aan 8 en de straal van de grondcirkel 6 zoals hiernaast.

Dan is de lengte van de rode lijn gelijk aan de omtrek van de grondcirkel, dus  2π • 6 = 12π.
De lengte van de blauwe lijn kunnen we met Pythagoras uit de linkerfiguur makkelijk vinden: die is 10.
Dat betekent dat de omtrek van de hele cirkel in de rechterfiguur, dus zonder die hap eruit, gelijk is aan  2π • 10 = 20π.
Kijk nu naar de rechterfiguur:  omdat de hele cirkel omtrek 20π heeft, en het getekende deel omtrek 12π is dat getekende deel dus  12/20  deel van de hele cirkel.
Maar dan is de oppervlakte ervan σσk 12/20 deel van de hele oppervlakte.
Die hele oppervlakte is π • 102 = 100π,  dus het getekende deel heeft oppervlakte  12/20 • 100π = 60π.

De hele methode samengevat:

Hoeveelste deel is de mantelomtrek van de totale cirkelomtrek?
Zoveelste deel is de manteloppervlakte ook van de totale cirkeloppervlakte!
   
TIPJE
Voor dat "hoeveelste deel" hoef je natuurlijk niet eens de omtrek uit te rekenen!
Immers, als de grondcirkel straal r heeft, dan is de omtrek ervan 2πr.
Als de schuine blauwe lijn lengte R heeft, dan is de oppervlakte van de "uitslag"cirkel 2πR.
De verhouding daarvan is  2πr/2πR en dat is precies  r/R.
In het voorbeeld hierboven hadden we dus net zo goed direct  6/10 ste deel kunnen nemen......
   
Hoe is het met een afgeknotte kegel?
   
Dat is gelukkig erg eenvoudig: doe hetzelfde als je bij de inhoud al deed.  Weet je het nog?
Neem eerst de inhoud van de oorspronkelijke hele kegel, trek daarna de inhoud van het eraf gesneden deel daar weer af.
Dus in dit geval neem je eerst de oppervlakte van de hele kegel en trek je daarna de oppervlakte van het eraf gesneden deel daar weer af.
Een voorbeeld zal een boel duidelijk maken, denk ik.

Voorbeeld.
Hiernaast zie je een plastic huisje van de speelgoedfirma PLAY&SOFT. Het kan als hut voor kinderen dienen. De vorm is die van een afgeknotte kegel. De hoogte van de hut is 150 cm. De grondcirkel heeft een straal van  80 cm en de bovencirkel een straal van 60 cm.
Het grote gat dat als ingang dient heeft een straal van 40 cm.
Bereken de gekromde oppervlakte van de hut.

Over een hoogte van 150 cm neemt de straal van de cirkel af met 20 cm. Om de oorspronkelijke kegel te krijgen moet dat nog 3 keer gebeuren (van 60 naar 0) dus de oorspronkelijke kegel had een hoogte van 600 cm. 

Een vooraanzicht en een uitslag van de kegelmantel zie je hieronder (niet op schaal)
   

   
Het donkergekleurde deel is de oorspronkelijke hele kegel, het lichtere deel is de eraf gesneden kegel.
TB2 = 802 + 6002  dus  TB = 605,31.
Dus de omtrek van de grote gestippelde cirkel is 2π • 605,31 = 3803,27
De oppervlakte van de grote gestippelde cirkel is π • 605,312 = 1151080
De uitslag is dus  80/605,31ste deel van de hele cirkel.
Dat is 0,1322ste deel, dus de oppervlakte van cirkeldeel TBA in de uitslag is  0,1322 • 1151080 = 152130

TD2 = 602 + 4502  dus  TD = 453,98 dus de oppervlakte van de kleine gestippelde cirkel is  π • 453,982 = 647482.  Het lichtgekleurde deel is weer 0,1322ste deel daarvan dus en dat is 85597.

De oppervlakte van de mantel van de afgeknotte kegel is daarom  152130 - 85597 = 66533 cm2
(daar moet dan dat gat nog vanaf:  66533 - π • 402 ≈ 61506 cm2)
   
  OPGAVEN
1. Jolanda gaat voor haar verjaardagsfeestje hoedjes maken uit vierkante kartonnen vellen in mooie gemengde kleuren. Ze wil dat de hoedjes de vorm van een kegel krijgen met hoogte 24 cm en de straal van de grondcirkel 6 cm. Ze tekent daarvoor een cirkel op haar vierkante stuk papier met het middelpunt in het midden van het papier, en knipt er vervolgens een hap uit.

       
  a. Hoe groot moet de zijde van een kartonnen vel minstens zijn?
   

2√612
  b. Als de vellen een minimale afmeting hebben, hoeveel procent van het karton gooit Jolanda dan uiteindelijk weg?
     

81%
 
         
2. Een Chinese hoed heeft vaak de vorm van een kegel.

Hiernaast zie je er eentje.

De hoogte van de kegel is 18 cm.

De onderrand heeft een omtrek van 70 cm.

Bereken de oppervlakte van de hoed.

       

740,9 cm2
         
3. Het drinkbekertje hiernaast heeft een hoogte van 20 cm en een inhoud van 0,5 liter.

Bereken de oppervlakte van dit bekertje.

       

316 cm2
         
4. Een student wiskunde is gek op formules en ontwikkelt voor de oppervlakte van een kegelmantel de formule: 
         
 
 O = πr • √(r2 + h2) 
         
  Daarbij is  r de straal van de grondcirkel en h de hoogte.
Toon aan dat deze formule klopt.
         
5. Bij het Oerol festival 2008 op Terschelling werd bij het project "Walking" de enorme kegel van klei hiernaast gebouwd door de kunstenaars  Robert Wilson, Theun Mosk en Boukje Schweigman  als eindpunt van de wandeling.
De kegel is ongeveer 8 meter hoog en de grondcirkel heeft een straal van 3,3 meter, en de kegel is gemaakt van klei.

Bereken hoe dik de wanden van de kegel zijn als er ongeveer 30 m3 klei voor is gebruikt (verwaarloos het gat van de deur en neem aan dat de wanden overal even dik zijn).

       

33,4 cm
     
6. Een gebouw met een bekende bijnaam in Friesland is "De Lampekap". Het is een watertoren in Akkrum-Oost, een dorp tussen Leeuwarden en Heerenveen. Duidelijk zichtbaar vanaf de A32 en 's nachts verlicht.

De watertoren is ontworpen door architect Wesselman en gebouwd in 1957.

De toren bestaat uit twee cilinders, en is in totaal 41 meter hoog.
De bovenste, en breedste, cilinder heeft een hoogte van 9,5 meter en een inhoud van  515 m3.

De breedte van het onderste deel is de helft van die van het bovenste deel.

  Als iemand de hele toren wit zou willen verven, hoeveel m2 moet hij dan verven? (neem aan dat de bovenkant vlak is en ook geverfd moet worden)
       

878 m2
         
7. Een metalen trechter heeft afmetingen als in de figuur hiernaast.

Bereken in ιιn decimaal nauwkeurig de totale buitenoppervlakte van deze trechter.
       

205,5 cm2
         
8. Het dak van het leuke torentje hiernaast (het staat trouwens in Bettendorf) heeft de vorm van een kegel.
Het is bedekt met blauwe dakpannen. Het onderste deel met lichtblauwe pannen en het bovenste deel met donkerblauwe pannen.
De afmetingen zijn als hiernaast.

De oppervlakte van ιιn dakpan is  400 cm2

Bereken hoeveel dakpannen van elke soort zijn gebruikt (neem aan dat het allemaal mooi in elkaar past, en rond af op gehele aantallen).

       

931 en 62
   
9. Als huisdieren een wond hebben waar ze niet aan mogen bijten of likken dan krijgen ze van de dierenarts een plastic kraag om (in Engeland heet zoiets een "Elizabethan collar" naar de enorme kragen van koningin Elizabeth)
Dat ziet eruit als hieronder:
         
 

         
  De kraag heeft de vorm van een afgeknotte kegel, en als je hem uit elkaar vouwt krijg je de figuur rechts.
Voor een bepaalde kraag geldt:  AC = BD = 20 cm  en  cirkelomtrek AB = 125 cm  en  cirkelomtrek CD = 35 cm.
       
  a. Bereken de oppervlakte van de kraag.

1600 cm2
       
  b. Bereken de hoogte van de afgeknotte kegel in gehele centimeters

14 cm
         
10. Tommy Cooper was een beroemde Britse komiek, vooral herkenbaar door zijn fez: dat is dat malle petje hiernaast.
De diameter van de onderkant is 18 cm, en de diameter van de bovenkant is 12 cm.
Verder is de hoogte van de fez ook gelijk aan  12 cm.

Bereken de gekromde oppervlakte van de fez.

       

582,96 cm2
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)