h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. De hoogte is 24 en de straal is 6, dan is de schuine zijde  (242 + 62) = 612
De zijde van het karton moet minstens de diameter zijn, en die is 2612 ≈ 49,5 cm
       
  b. Er wordt  6/612 ste deel van de cirkel gebruikt.
Dat heeft oppervlakte  6/612 π 612 = 466,31
Het hele karton heeft oppervlakte (2612)2 = 2448
ze gooit  2448 - 466,31 = 1981,69 weg en dat is  1981,69/2448 100% = 81%
       
2. de omtrek van de grondcirkel is 70, dus de straal ervan is  70/2π = 11,14 cm
dan is de schuine zijde van de kegel  (11,142 + 182) = 21,17 cm
dan is er 11,14/21,17 = 0,526ste deel nodig
de oppervlakte is dan  0,526 π 21,172 = 740,9 cm2
       
3. 0,5 liter is 500 cm3
1/3 π r2 20 = 500
r2 = 23,87
r = 4,89 cm
de schuine kant heeft lengte  (4,892 + 202) = 20,59 cm
dan is er  4,89/20,59 = 0,237ste deel nodig
de oppervlakte is dan 0,237 π 20,592 = 316 cm2
       
4. de schuine kant heeft lengte R = (r2 + h2)
de hele cirkel van de uitslag heeft omtrek  2πR
de grondcirkel heeft omtrek 2πr dus er wordt  2πr/2πR = r/R ste deel gebruikt
de oppervlakte is r/R πR2 = πrR  = πr(r2 + h2)
       
5. de schuine kant van de kegel heeft lengte (82 + 3,32) = 8,654 m
Er is  3,3/8,654 = 0,381ste deel van de uitslagcirkel gebruikt
Dat heeft oppervlakte  0,381 π 8,6542 = 89,71 m2
Als de dikte overal d is, dan geldt  89,71 d = 30
d = 0,33 meter, dus dat is 33 cm.
       
6. hoogte 9,5 en inhoud 515 geeft  πr2 9,5 = 515
dan is r2 = 17,25  dus  r = 4,15
De manteloppervlakte van het bovenste deel  is  2π 4,15 9,5 = 247,95 m2
De bovenkant heeft oppervlakte  π 4,152 =  54,21
De onderkant heeft ook oppervlakte 54,21 maar daar hoeft een deel niet van geverfd te worden
De straal van het onderste deel is 0,5 4,15 = 2,08
Dus hoeft  π 2,082 = 13,55 m2 niet te worden geverfd, en dus 54,21 - 13,55 = 40,66 m2 wel.

De manteloppervlakte van het onderste deel is  2 π 2,08 41 = 535,06 m2

Dat geeft een totale te verven oppervlakte van  247,95 + 54,21 + 40,66 + 535,06 = 878 m2 
       
7. de breedte van de afgeknotte kegel loopt van 12 tot 2 over een hoogteverschil  van 6,5 cm
 
Δh 6,5 ??
Δb 10 12
  ?? = 7,8 dus de oorspronkelijke kegel was 7,8 cm hoog.
     
  De straal van het grondvlak van de kegel is 6 cm.
De schuine kant heeft lengte  (62 + 7,82) = 96,84 = 9,84 cm
De uitslag van de hele kegel is dan  6/9,84 = 0,6098ste deel van de hele cirkel.
De oppervlakte is 0,6098 π 9,842 = 185,49  cm2
Het stuk wat er af moet heeft schuine kant  (12 + 1,32) = 1,64
(die 1,3 is natuurlijk 7,8 - 6,5)
De oppervlakte is 0,6098 π 1,642 = 5,15
Dan blijft over 185,49 - 5,15 = 180,34
       
  Het onderste cilinderdeel moet daar nog bij.
Dat heeft oppervlakte  2 π 1 4 = 25,13

Samen geeft dat oppervlakte 205,5 cm2
       
8. De straal van de grondcirkel is 2 m
De schuine kant heeft lengte (22 + 62) = 40 = 6,32 m
De kegeluitslag is dan  2/6,32 = 0,316ste deel van de hele cirkel.
De oppervlakte daarvan is  0,316 π 6,322 = 39,74 m2

Het topje is een verkleining met factor 1/4 van de hele kegel, dus de oppervlakte ervan is  (1/4)2 39,74 = 2,48 m2
400 cm2 is  0,04 m2  dus er zijn  2,48/0,04 = 62 donkerblauwe pannen nodig.

Het lichtblauwe deel heeft oppervlakte 39,74 - 2,48 = 37,25 m2  dus daar zijn  37,25/0,04 = 931 pannen voor nodig.
       
9. a. Als de kleinste cirkel straal r heeft, dan heeft de grootste cirkel straal r + 20
Omdat van beide cirkels hetzelfde deel is getekend (zelfde hoek bij het middelpunt) zijn de verhoudingen tussen de straal en de omtrek gelijk.
Dus  (r + 20)/125 = r/35
35(r + 20) = 125r
700 = 90r
r
= 77/9.
De hele omtrek van de kleinste cirkel is dan  2π 77/9 = 48,87
Dus er is  35/48,87 = 0,716 ste deel getekend.

De oppervlakte van het grootste cirkeldeel is dan  0,716 π (77/9 + 20)2 = 1736,11
De oppervlakte van het kleinste cirkeldeel is dan 0,716 π 77/92 = 136,11
De kraag heeft oppervlakte  1736,11 - 136,11 = 1600 cm2
       
  b. de schuine kant van de kegel heeft lengte 20
het grondvlak heeft straal  125/(2π) = 19,89
het bovenvlak heeft straal 35/(2π) = 5,57

Dan geldt:  h2 + (19,89 - 5,57)2 = 202
h2 = 194,9
h 14

       
10. De oorspronkelijke kegel waar de fez van afkomstig is had hoogte 36 (want er moet nog twee keer 6 van de 12 af om nul te krijgen, dus nog twee keer de hoogte erbij)
De straal van de grondcirkel is 9.
Dus is de schuine kant van de kegel  (92 + 362) = 1377 = 37,11
Om de hele kegel te tekenen moet je een cirkel met straal 37,11 tekenen, en daarvan heb je 9/37,11 = 0,2425ste deel nodig.
De oppervlakte is dan 0,2425 π 37,112 = 1049,20

Om af te knotten moet er nog 0,2425ste deel van een cirkel met straal  2/3 37,11 van af (immers het eraf gehaalde  deel is 2/3 van de hele kegel).
Dat is moppervlakte 0,2425 π (2/3 37,11)2 = 466,24
Dan blijft voor de fez over 1049,20 - 466,24 = 582,96 cm2
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)