kansen met variabelen

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Kansproblemen met variabelen.

Natuurlijk is het bij kansrekening ook best mogelijk dat de kans niet precies berekend kan worden omdat er nog onbekenden zijn. In zulke gevallen is het vaak wel mogelijk een formule voor een kans op te stellen.
Stel dat wat onbekend is gelijk aan x en doe tijdens het berekenen van de kans alsof die x een gewoon getal is. Dan krijg je vanzelf een formule met x. Kijk maar:

Voorbeeld.

Voor je staan twee vazen waarin oorspronkelijk een zelfde aantal rode knikkers zat.
Iemand heeft in beide vazen een aantal zwarte knikkers toegevoegd. In totaal zitten er nu 12 knikkers in de eerste vaas en 20 in de tweede.
Jij pakt uit beide vazen willekeurig een knikker. Stel een formule op voor de kans op twee zwarte knikkers.

Die kans valt niet uit te rekenen omdat het aantal oorspronkelijke rode knikkers niet bekend is.
Stel dat aantal daarom gelijk aan x.

Dan zitten er nu in de eerste vaas x rode knikkers en dus 12 - x zwarte knikkers.
In de tweede vaas zitten x rode knikkers en 20 - x zwarten.
De kans op twee zwarte knikkers is dan P(ZZ) = ^{(12 - x)}/₁₂ • ^{(20 - x)}/₂₀ = ^{(240 - 32x + x²)}/₂₄Zo maak je dus een formule....

OPGAVEN

Maak in bovenstaand voorbeeld een formule voor de kans op een rode en een zwarte knikker.
Bereken daarmee hoe groot de kans op een rode en een zwarte knikker maximaal kan zijn.

0,5333

Ik heb hier een vaas met in totaal 30 knikkers. Ze zijn rood of zwart.
Ik trek er twee knikkers uit, zonder ze terug te leggen.
De kans op een rode en een zwarte blijkt gelijk te zijn aan 0,4046.
Hoeveel rode knikkers zaten in de vaas?

22 of 8

Een aantal van mijn vrienden heeft een wedstrijdje gedaan wie het meeste bier kon drinken.
Ik was daar niet bij, maar de volgende dag vragen ze mij te raden in welke volgorde ze zijn geëindigd, dus wie 1^e was, wie 2^e enzovoorts.
Nou heb ik geen flauw idee hoeveel bier iedereen kan drinken, dus ik ga zomaar wat gokken.
De kans dat ik alles goed gok bereken ik op 0,00139

Hoe groot is die vriendenclub?

Hoe groot zou die club minstens moeten zijn als de kans dat ik alles goed raad kleiner is dan 0,000000000001?

Een HAVO-5 klas bestaat uit 28 leerlingen.
Als je er willekeurig een groep van 8 uit kiest, dan is de kans op precies 3 meisjes gelijk aan 0,3308
Hoeveel meisjes zitten er in deze klas?

10 meisjes

In een dierenwinkel krioelen een aantal muizen in een bak. Er zitten 7 gevlekte muizen bij, de rest is effen zwart. Als je er willekeurig 4 muizen uithaalt, dan blijkt de kans dat daar één gevlekte muis bijzit even groot als de kans dat er twee gevlekte muizen bij zitten.
Bereken hoeveel muizen er in de bak zitten.

18 muizen