interpretatie afgeleide

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Wat stelt die afgeleide nou eigenlijk vóór?

We zagen al eerder dat de afgeleide functie de helling in een punt geeft. Deze les gaan we kijken wat voor praktische betekenissen dat nou heeft. Waarom zou je eigenlijk de helling van een grafiek in een punt willen weten?
Hier volgen een paar praktische betekenissen van de afgeleide (van die helling dus...)

1. De mate van verandering.

Neem bijvoorbeeld een tank met water, waarvan je weet dat de hoeveelheid water in de tank op tijdstuip t wordt gegeven door: W(t) = 3t² - 42t + 30 (W in liters, t in minuten)

Dan kun je met de afgeleide de volgende vragen beantwoorden:
• Stroomt er op t = 4 water in de tank of juist uit de tank?
• Met welke snelheid (in liters per minuut) stroomt het water uit de tank op t = 5?
• Zijn er momenten waarop het water in de tank (heel even) constant is?

De antwoorden zijn met de afgeleide vrij makkelijk:

•

Op t = 4 is de afgeleide gelijk aan W' (4) = -18. Dat is negatief, dus de hoeveelheid in de tank neemt af, dus er stroomt water uit de tank.

•

Op t = 5 is de afgeleide gelijk aan W' (5) = -12. Dus het water stroomt uit de tank met een snelheid van 12 liter per minuut.

•

Als W constant is, dan is de afgeleide gelijk aan nul. Als je W' plot, dan zie je dat dat zo is op t = 7.

2. De snelheid.

Als A(t) de afstand van een object als functie van de tijd (t) geeft, dan zegt A' hoe snel die afstand verandert.
Dat is dus de snelheid van dat object!

Voorbeeld.
Een punt beweegt over de x-as en zijn plaats x op tijdstip t wordt gegeven door x(t) = ^t/_{(t
+ 1)}Dan kun je met de afgeleide de volgende vragen beantwoorden:
• Beweegt het punt op t = 10 naar links of naar rechts?
• Stopt het punt ooit met bewegen?

De antwoorden zijn met de afgeleide vrij makkelijk:

•

Op t = 10 is de afgeleide ongeveer gelijk aan 0,008.
Dat is positief, dus de x neemt toe, dus het punt beweegt naar rechts.

•

Het punt stopt met bewegen als de snelheid (de afgeleide) nul is.
Als je de afgeleide plot dan zie je dat die nooit gelijk aan nul wordt, dus het punt stopt nooit met bewegen.

3. De helling van de raaklijn is gelijk aan de afgeleide.

Ik hoop dat je dat intussen vrij logisch vindt.
Kijk, die raaklijn die ligt in het raakpunt "tegen de grafiek aan", dus die heeft daar dezelfde helling, dus dezelfde afgeleide (want dat is immers de helling?).

Voorbeeld.
De lijn y = 2x + p raakt de grafiek van y = x² + 2. Voor welke p is dat zo en wat is het raakpunt?

De helling van de raaklijn is gelijk aan 2 (dat is namelijk de helling van de lijn y = 2x + p)
Dus het gaat erom wanneer de helling van y = x² + 2 ook gelijk is aan 2.
Zet de functie y = x² + 2 in Y1. Zet in Y2 de helling daarvan (dus Y2 = nDerive(Y1, X, X))
Die helling moet gelijk zijn aan 2.
Dus zet in Y3 de functie Y3 = 2
Bereken nu met calc- intersect het snijpunt van Y3 en Y2: dat geeft x = 1
Het raakpunt moet dus wel bij x = 1 liggen, en als 2x + p = x²+ 2 dan geeft dat 2 + p = 3 dus p = 1.
x = 1 geeft y = 3 dus het raakpunt is (1,3).

4. De dichtheid is de afgeleide van de massa.

Stel dat je de massa van het deel van een staaf tussen 0 en x weegt, en die massa noem je M(x)

Dan is de dichtheid (massa per lengte) van het stukje staaf tussen x₁ en x₂ gelijk aan ^ΔM/_Δ_x = ^{(M(x2) - M(x1))}/_{(x2 - x1)}

Laten we x₂ nu naar x₁ toe gaan, dan vind je de dichtheid ρ van de staaf op plaats x₁ en dat is de afgeleide M'(x₁)

5. Reactiesnelheid.

Ik hoop dat je bij het woord "snelheid" eigenlijk nu meteen al aan de afgeleide dacht.
In een scheikundige reactie worden een aantal stoffen omgezet in andere stoffen. Dat geef je meestal aan met een reactievergelijking, en die zou er zó uit kunnen zien:

P + Q → R + S

Hier staat dat de stoffen P en Q worden omgezet in de nieuwe stoffen R en S. Noem de hoeveelheid stof die aanwezig is C (van concentratie). Als je nu een poosje meet hoeveel er op tijdstip t van stof P aanwezig is, dan krijg je een functie C_P(t). De afgeleide daarvan geeft aan hoe snel de concentratie van P verandert en dat heet de reactiesnelheid van stof P.

N.B. Als de reactie hierboven van links naar rechts verloopt, dan zal dus gelden C_P'(t) < 0

OPGAVEN

Een schip vol olie is gestrand in zee en door een gat in de romp loopt er olie de zee in.
Per minuut stroomt 50 liter olie de zee in, te beginnen op tijdstip t = 0
Die olie vormt op het zeewater een grote vlek. Neem aan dat die vlek (bij benadering) cirkelvormig is. De dikte van de olielaag is gelijk aan 2 mm. Neem verder aan dat alle olie zich direct tot een cirkelvormige vlek met dikte 2 mm verspreidt.
Voor de straal van die cirkelvormige olievlek geldt dan ongeveer r(t) = 2,82√t met r in meters en t in minuten.

Leg uit waar deze formule vandaan komt.

Onderzoek hoe snel de straal van de olievlek groeit (in m/min) op tijdstip t = 20 min.

Met een cilinder gevuld met helium kun je ballonnen opblazen. Per seconde perst de cilinder 0,2 liter helium in een ballon. Neem aan dat de ballon op elk moment bolvormig is. De inhoud van een bol is gelijk aan ⁴/₃pr³.
Op t = 0 begint men een ballon op te blazen.
Voor de diameter (d in cm) van die ballon geldt (met t de tijd in seconden):

Toon deze formule aan.

Hoe snel (in cm/sec) neemt de diameter toe op t = 2?

1,52 cm/sec

Een punt P beweegt over de x-as, waarbij voor de x-coördinaat van P geldt: x_P = 2t³ - 10t² + 6t - 4

Beweegt het punt op t = 2 naar rechts of naar links?

links

Wanneer staat het punt stil?

3 en ¹/₃

Met welke snelheid passeert P de oorsprong?

34,95

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2004

De luchtdruk in de atmosfeer is afhankelijk van de hoogte boven het zeeniveau.
De grafiek hieronder geeft het verband weer tussen de luchtdruk in millibar (mbar) en de hoogte boven het zeeniveau in kilometer (km).
De luchtdruk op zeeniveau is gelijk aan 1014 mbar.

In deze figuur is te zien dat de luchtdruk afneemt als de hoogte toeneemt.
Er is een hoogte waarop de snelheid waarmee de luchtdruk afneemt gelijk is aan 5 mbar per 100 meter.

Onderzoek met behulp van de figuur op welke hoogte dit het geval is.
Licht je werkwijze toe.

h ≈ 8

Voor het verband tussen de luchtdruk D (in mbar) en de hoogte h (in km) geldt bij benadering de formule:
D = 1014 • (-0,0226h + 1)^5,26Met behulp van differentiëren is de snelheid (in mbar/km) te berekenen waarmee de luchtdruk verandert.

Bereken deze snelheid op een hoogte van 3 km. Rond je antwoord af op één decimaal.

-89,4

Twee politieagenten zitten in hun patrouillewagen langs een lange rechte weg. Opeens komt er met enorme vaart een auto langsgereden. Hij rijdt met constante, maar veel te hoge snelheid.
De agenten schrikken wakker en zetten de achtervolging in.
In onderstaande grafiek zie je de afstand van de politiewagen én de afstand van de overtreder, gemeten vanaf het punt waar de politieauto stond, als functie van de tijd.
t is de tijd in seconden met t = 0 het moment dat de politieauto begint te rijden.
S is de afstand in meters.

Voor de overtreder blijkt te gelden S(t) = 40t + 500

Hoeveel km/uur rijdt de overtreder?

144 km/uur

Bepaal met de grafiek op welk moment de overtreder en de politieauto even hard reden.

t = 25 sec

Voor de politieauto blijkt te gelden: S = 0,2t² + 30t

Teken een toenamendiagram voor de politieauto voor t tussen 0 en 100 met stapgrootte 20.

Op welk moment haalt de politieauto de overtreder in? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

80,90 sec

Men laat een reservoir met daarin 8000 liter water leegstromen door een kraan aan de onderkant open te zetten.
Voor de hoeveelheid water in het reservoir geldt V = 8000 • (1 - ^t/₂₇₀)² met t de tijd in minuten vanaf het moment van openzetten en V het watervolume in liters.

Hoe lang duurt het voordat het reservoir leeg is?

270 min

Hoeveel liter stroomt er per seconde op t = 30 uit het reservoir?

0,88 liter/sec

Men laat een reservoir met daarin 8000 liter water leegstromen door een kraan aan de onderkant open te zetten.
Voor de hoeveelheid water in het reservoir geldt V = 8300 - 300√(2t + 1)
Daarin is t de tijd in minuten vanaf het moment van openzetten en V het watervolume in liters.

Hieronder zie je een grafiek van V.

Bereken het differentiequotiënt van V op interval [0, 75] en leg duidelijk uit wat dit getal voorstelt.

-45,15 l/min.

Op een gegeven moment berekent een medewerker dat het vat, vanaf het begin gerekend, een gemiddelde leegstroomsnelheid van 50 liter per minuut heeft gehad.

Onderzoek m.b.v. de grafiek hoeveel water er op dat moment nog in het vat zit

5000 l

Men wil graag weten wat de uitstroomsnelheid (in liter/minuut) op tijdstip t = 120 nog is.

Benader deze snelheid m.b.v. de grafiek.

-19.3

Het vat stroomt steeds langzamer leeg.
Men heeft echter ook de mogelijkheid om de uitstroomopening niet open te laten, maar om er een pomp op aan te sluiten.
Deze pomp haalt per minuut constant 16 liter water uit het vat en men besluit om op t = 180 de pomp aan te zetten, omdat het vat op dat moment ook ongeveer leegliep met een snelheid van 16 liter/minuut.

Bereken die snelheid op t = 180 in twee decimalen nauwkeurig.

-15,79

Door de pomp aan te sluiten is het vat eerder leeg dan wanneer het alleen via de uitstroomopening zou leeglopen.

Bereken algebraïsch hoeveel tijdwinst men boekt door de pomp op t = 180 aan te zetten. Geef je antwoord in minuten en seconden nauwkeurig.

39 : 43