|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bij het scheiden van variabelen
was het steeds het doel de x-en en de y-en apart te
krijgen zodat je beide kanten los van elkaar kon primitiveren. Nou zijn
er sommige combinaties van x en y die je ook in één keer
kunt primitiveren, zonder die x en y uit elkaar te hoeven
halen. Het is handig als je die kunt herkennen. Neem als voorbeeld de productregel. Die zegt het volgende: (xy)' = 1y + xy' = y + xy' (bedenk dat die y een functie van x is) Maar dat betekent dat je, als je in een differentiaalvergelijking de vorm y + xy' tegenkomt, je die in één keer kan primitiveren. Je moet hem alleen eventjes herkennen. Voorbeeld 1. Los op: (2y + x) • y' + y = 0 met y(0) = 2 Doe geen moeite, scheiden van variabelen gaat echt niet lukken. Maar kijk! Als je de haakjes wegwerkt staat er 2yy' + xy' + y = 0 ⇒ xy' + y = -2yy' Daar links staat precies de afgeleide van xy . Beide kanten primitiveren geeft dan direct: xy = -y2 + c en de beginwaarde geeft dan 0 = -4 + c ofwel c = 4 De oplossing is dus xy = -y2 + 4 (met de ABC-formule zou je er nog y = ... van kunnen maken) Zo'n vorm y + xy' die je handig kunt primitiveren heet een integreerbare combinatie. Hier zijn nog een paar zulke integreerbare combinaties: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Je kunt deze regels allemaal makkelijk zelf bewijzen door die dingen aan de rechterkant van de tabel gewoon te differentiëren. Als je het leuk vindt zou je zelf nog wel meer zulke integreerbare combinaties kunnen maken. Ga vooral je gang... | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Voorbeeld 2. Los op: x = 3x2 - yy' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Nou, dat lijkt wel wat op die
tweede uit de tabel vind je niet? x + yy' = 3x2 kun je aan beide kanten direct primitiveren Dat geeft 1/2(x2 + y2) = x3 + c ofwel y2 = 2x3 - x2 + c (met een nieuwe c) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
