Hoogtekaartjes.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Hieronder links zie je een kaartje uit een aardrijkskundeatlas. (Het betreft hier een klein bekken in de Hoog Ecuadoriaanse Andes,  Sta.-Ana Cuenca, Equador, maar dat doet er verder niet veel toe)
       

       
Je ziet dat er is aangegeven op welke hoogte de verschillende delen van het gebied zich bevinden.
Rechts zie je het kaartje nog een keer, maar nu ontdaan van alle franje. Daarin staan alleen nog de grenslijnen van de hoogtegebieden. Alle punten van de lijn waar "3100"  in staat liggen dus op 3100 meter hoogte.
Deze lijnen van gelijke hoogte heten hoogtelijnen, maar ook wel isolijnen.
       

isolijn = alle punten van gelijke hoogte

       
Nou valt er aan zulke grillige hoogtelijnen niet zoveel te rekenen helaas. En dat willen jij en ik als echte wiskundigen natuurlijk wel. Daarom zullen we voor het vervolg modellen bekijken waarin de hoogtelijnen nette functies zijn waar wij formules van hebben.

Je moet je op de eerste plaats realiseren dat zulke formules zullen bestaan uit drie variabelen. Om de plaats in het bovenaanzicht van het landschap aan te geven heb je immers al een x en een y nodig, en voor de bijbehorende hoogte zul je toch echt een extra variabele H nodig hebben.
Die H zal dus een functie van x en van y zijn:  H = f(x, y)

Zo zal voor punt P in het kaartje hiernaast gelden  H(1200, 2000) = 3100

       
Met een formule.
       
Als je een formule voor H(x, y) hebt wordt de zaak wiskundig ineens veel interessanter. Dan kun je namelijk berekeningen gaan maken!

Neem bijvoorbeeld de hoogtefunctie H(x, y) = x2 + y
Hiernaast zie je daarvan een hoogtekaartje met een aantal isolijnen.

Hoe teken ik een isolijn?
Nou heel eenvoudig. Kies eerst een waarde van H. Bijvoorbeeld H = 12.
Invullen geeft dan 12 = x2 + y  ofwel  y = 12 - x2
Dat is een parabool. Kun je hiernaast tekenen.

Hoe bereken ik H bij een isolijn?
Nog eenvoudiger: vul gewoon een punt (x, y) in.  Stel dat je de H-waarde bij de meest rechtse isolijn hiernaast wilde berekenen. Dan lees je af dat die lijn bijvoorbeeld door (5,5) gaat en dat geeft direct  H = 52 + 5 = 30
       
Om lastiger functies te plotten kun je handig gebruik maken van het programma WINPLOT.  Dat kun je hiernaast vinden.
(Gebruik daarin de optie:  Window - 2dim - Equa - implicit).
       
Profielen.
       
Nog een aardige vraag is:  "Als ik een bepaald traject in zo'n landschap afleg, welke hoogteverschillen merk ik dan onderweg?"

Neem weer het hoogtekaartje van de functie H(x, y) = x2 + y.

Stel dat je op dit kaartje via een (in het bovenaanzicht) rechte weg van punt P(0, 3)  naar punt Q (6,0)  reist. Hoe ziet je route er dan uit?
Natuurlijk kun  je al een aardig idee krijgen over de vorm van je route door als volgt de snijlijnen van route PQ met de hoogtelijnen te tekenen:
 

 
Hiernaast zie je aan die blauwe stippen dat jouw route die dag er ongeveer uit zal zien als een parabool.  In het begin klim je een beetje, en tijdens de tocht van P naar Q wordt de helling steeds steiler.

Zo'n hoogteverloop heet een profiel van H volgens de lijn PQ.
Maar goed, wij als echte wiskundigen willen natuurlijk niet zo'n ruw "ongeveer"-plaatje, wij willen een formule!!

Dat kan.
Bedenk je dat de route PQ in het bovenaanzicht te schrijven is als 
y
= 3 - 0,5x

Maar dan mag je in de functie voor H op deze route de y dus ook wel vervangen door  3 - 0,5x, en dat geeft  H(x) = x2 + 3  - 0,5x.
Dat is gewoon nu een functie met n variabele en daar kun je tenminste wat mee.
We zijn weer op vertrouwd terrein.
..........Bijvoorbeeld plotten, zoals hiernaast.
Denk erom dat de x-as nu alleen de x-cordinaat geeft en niet de afgelegde afstand.  Aan de schuine lijn PQ hierboven (y = 3 - 0,5x)  zie je dat een verschil van x = 1 hoort bij een verschil van y = 0,5 dus bij afstand √(12 + 0,52) = √1,25 = 0,5√5. Voor de afgelegde afstand moet je de groene x-as hiernaast gebruiken. 

...........
Bijvoorbeeld het laagste punt uitrekenen.
De parabool H = x2 - 0,5x + 3 heeft top bij x = 0,5/2 = 0,25
Daar is H = 2,9375  en dat is het punt  (0.25, 2.875)
De afgelegde weg is dan √(0.252 + 2,8752) = 2,89.

       
             
  OPGAVEN
             
1. De functie H(x, y)  = x3 - y3  is gedefinieerd voor x en y in het interval [-2, 2].
             
  a. Teken de isolijn H = 2.
             
  b. Teken het profiel van deze functie volgens de lijn y = 2x
             
2. Gegeven is de functie H(x, y) = 3x 9y
Het domein is  x 2 en  y 1 en  x + 2y 8.
             
  a. Teken de isolijn H = 729
             
  b. Leg uit waar in dit gebied H maximaal is, en hoe groot die maximale H is.
           

H = 6561

   
3. Een groothandel in speelgoed verkoopt x miljoen artikelen per jaar. De opbrengst daarvan is 4x - x2 miljoen euro. De kosten zijn y miljoen euro waarbij die kosten nooit kleiner dan nul zijn en ook nooit groter dan de opbrengst.
Daarom kan de winst worden weergegeven door W = 4x - x2 - y
             
  a. Teken de isolijnen W = 1, W = 2, W = 3 en W = 4.
             
  b. Teken het profiel van W volgens de lijn x = y
             
  c. Bereken de maximale winst als de kosten 1,20 per artikel zijn.
           

W = 2,8

4. Bij de kaart van het heuvellandschap hiernaast hoort de hoogtefunctie 
H(x, y) = 9 - 1/4x2 + y

         
  a. Er is al n isolijn getekend. Welke H hoort daarbij?
       

H = 10

  b. Teken ook de hoogtelijnen H = 2 en H = 6.
         
  c. Een wandelaar loopt in een rechte lijn van A(-5, 0) naar B(5,5)
Schets het profiel langs deze route en bereken hoe ver de wandelaar hemelsbreed heeft gelopen als hij zijn hoogste punt op deze route bereikt.
       

10

   
             
5. Begin vorig jaar gingen de leerlingen van het Herman Hofstede College (HHC) op wintersportreis. De groep werd ingedeeld in beginnende skirs en ervaren skirs.
De ervaren skirs mogen op de zwarte piste skin waarvan je het hoogtekaartje hiernaast ziet.

De functie die bij dit kaartje hoort blijkt te zijn  H = x3 - y2 + c
         
  a. Bereken de waarde van c.
       

c = 25

  b. Teken het profiel van deze piste volgens het vlak x = 1.
         
  c. Een skir daalt in een rechte lijn (op het kaartje hiernaast, dus in het bovenaanzicht) af van punt (4,5) naar punt (0,2). Waar ligt het laagste punt van zijn route en hoe laag is dat?
           

x = 1,20
=18,32

             
6. Het hoogtekaartje hiernaast voldoet aan  
H(x,y) = xy + 2(met 0 ≤ x ≤ 10  en  0 ≤ y ≤ 10)
Er zijn al enkele hoogtelijnen getekend.

       
  a Bereken bij elk van die lijnen de hoogte.
       
  b. Teken het profiel volgens de lijn  y = x
       
  c. Iemand loopt in een rechte lijn (hemelsbreed) van  (0,10) naar (10,0). Bereken waar hij zijn hoogste punt bereikt, en hoe hoog dat is.
             
7. Het hoogtekaartje hiernaast hoort bij een stukje bergland.
Daarbij hoort de formule  H(x, y) = y - 1/4x4 + x2
met 0 ≤ x 3  en -2 ≤  y 2.

       
  a. Welke hoogten horen er bij de drie getekende hoogtelijnen aan de rechterkant? Bepaal je antwoord zo nauwkeurig mogelijk.
       
  b. Wat is de minimale hoogte en wat is de maximale hoogte in dit gebied?
             
8. examenvraagstuk VWO wiskunde A, 1984
             
  Het hoogtekaartje dat je hiernaast ziet is het wiskundig model van een glooiend heuvellandschap. Het voorschrift dat de hoogte geeft als functie van de plaats is: 
H(x, y) = x3 - y
Beschouw deze functie op het domein D dat bestaat uit de verzameling punten (x, y) met  -1 < x < 1  en  -1 < y < 1.

       
  a. Welke hoogtegetallen horen er bij de zeven getekende hoogtelijnen a tot en met g?
       
  b. Wat is het maximum van H op het domein D?
En wat is het minimum?
       
  c. Teken de doorsnede van het landschap met het vlak door de x-as dat loodrecht op het horizontale vlak staat. Teken ook de doorsnede met het vlak door de y-as dat loodrecht op het horizontale vlak staat.
             
  d. Er wordt een wandeling ondernomen van P naar R over het heuvellandschap. Op het kaartje is de gevolgde route een rechte lijn, de lijn y = x. Bereken de maximale en de minimale hoogte die wordt bereikt op deze wandeling.
             
  e. De wandeling van S naar Q, op het kaartje langs de lijn y = -x, is een voortdurende klim. Toon dat aan.
             
  f. In welk punt is de klim, bedoeld in onderdeel e), het minst steil? Hoe groot is de helling in dat punt?
             
   

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)