h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. H = 7 geeft  x3 - y3 = 7
y3 = x3 - 7
y = (x3 - 7)1/3
plotten maar! zie hiernaast.

       
  b. y = 2x heeft  H = x3 - (2x)3 = x3 - 8x3 = -7x3

zie hiernaast.

       
2. a.  H(x, y) = 3x 9y
= 3x   (32)y
= 3x 32y
= 3x + 2y 

H = 729 = 36  geeft dan  3x + 2y = 36 , dus  x + 2y = 6
hiernaast zie je het gebied met de gevraagde isolijn rood gekleurd (andere isolijnen zijn blauw).
     
  b. De hoogste waarde voor H wordt bereikt op de lijn x + 2y = 8 en die waarde is gelijk aan 6561.
       
3. a. Zie hiernaast.
Dat zijn de parabolen y = 4x - x2 - W  alleen getekend voor y > 0

       
  b. y = x geeft  W = 4x - x2 - x  =  3x - x2
Die staat hiernaast.

     
  c. y = 1,20  geeft W = 4x - x2 - 1,20
Dat is een parabool met de top bij  x = -4/-2 = 2
Dan is W(2) = 8 - 4 - 1,20 = 2,8 miljoen.
       
4. a. de isolijn gaat bijv. door (0,1)
dat geeft  H = 9 - 1/4 02 + 1 = 10

     
  b. Zie de figuur.
Het zijn de parabolen y = 0,25x2 - 3 en y = 0,25x2 - 7
       
  c. De lijn AB is de lijn  y = 0,5x + 2,5
Dat geeft  H = 9 - 1/4x2 + 0,5x + 2,5 = 11,5 - 1/4x2 + 0,5x
Zie de figuur hiernaast

Het hoogste punt is bij  x = -0,5/2 -0,25 = 1 (top van de parabool)
Dan is  y =  0,5x + 2,5 = 3
Van (-5, 0) naar (1,3)  is een afstand van √(62 + 32) = √45 = 6,71
 

       
5. a. Lees een punt af, bijv.  x = 1, y = 4, H = 10
invullen: 10 = 13 - 42 + c  dus  c = 15

     
  b. x = 1  geeft  H = 1 - y2 + 15 = 16 - y2  en dat is de figuur hiernaast.
     
  c. Van (4,5) naar (0,2) is de lijn   y = 0,75x + 2
invullen geeft  H = x3 - (0,75x + 2)2 +15
Y1 = X^3 - (0.75X+2)^2 + 15
calc - maximum geeft dan  X = 1,205  (dan is y = 2,904) en H = 8,32
       
6. a. van links naar rechts (lees steeds een punt af):
(2, 3) geeft  H = 2 3 + 2 2 = 10
(5, 4) geeft  H = 5 4 + 2 5 = 30
(5, 8) geeft  H = 5 8 + 2 5 = 50
(8, 8) geeft  H = 8 8 + 2 8 = 80

     
  b. y = x geeft  H = x2 + 2 en dat is de figuur hiernaast.
     
  c. van (0, 10) naar (10, 0) is de lijn  y = 10 - x
invullen:  H = x (10 - x) + 2x   = 10x - x2 + 2x = 12x - x2
de top van de parabool ligt bij  x = -12/-2 = 6
Dan is H(6) = 36
       
7. a. Lees een punt af en vul dat in. Van rechts naar links geeft dat:
(2.8, 0)  geeft  H = 0 - 1/4 2.84 + 2.82 = -7,5
(2.5, -1) geeft  H = -1 - 1/4 2.54 + 2.52 = -4,5
(2, -2)  geeft  H =  -2 - 1/4 24 + 22 = -2
       
  b De waarden van H worden van linksboven naar rechtsonder steeds kleiner.
De hoogste waarde zal helemaal linksboven liggen:  x = 0 en y = 2  geeft  H = 2
De laagste waarde zal helemaal rechtsonder liggen:  x = 3 en y = -2  geeft H = -13,25
       
8. a. Lees punten af en vul die in.
a:
  (-1, 0.5)  en H = (-1)3 - 0,5 = -1,5
b:  (-1, 0) en H = (-1)3 - 0 = -1
c:  (0, 0.5) en H = 03 - 0,5 = -0,5
d:  (0,0) en H = 03 - 0 = 0
e:   (0,-0.5)  en H = 03 - - 0,5 = 0,5
f:   (0, -1) en H = 03 - - 1 = 1
g:  (1, -0,5)  en H = 13 - - 0,5 = 1,5
       
  b. H wordt van linksboven naar rechtsonder steeds groter.
Het maximum zal in punt Q(1, -1) liggen en is  H = 13 - - 1 = 2
Het minimum zal in punt S(-1, 1) liggen en is  H = (-1)3 - 1 = -2
       
  c. x-as:  y = 0  geeft H = x3
y-as:  x= 0 geeft  H = -y

zie hiernaast.
       
  d. PR is de lijn y = x
invullen in H:  H = x3 - x
Y1 = X^3 - X en dan calc - maximum geeft  Hmax = 0,38 (bij x = -0,58)
calc - minimum geeft  Hmin = -0,38  (bij x = 0,58)

Het kan uiteraard ook door de afgeleide nul te stellen:
H' = 3x2 - 1 = 0  geeft  x = √(1/3)
       
  e. y = -x  geeft  H = x3 + x
H ' = 3x2 + 1 en dat is altijd groter dan nul, dus de hoogte stijgt overal.
       
  f. De klim is het minst steil als H ' minimaal is.
Dat is zo als de afgeleide ervan nul is:  H '' = 0  dus  6x = 0 en dat geeft  x = 0
in punt (0,0) is de klim het minst steil en de helling is daar H '(0) = 3 02  + 1 = 1
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)