Hogere-machtsvergelijkingen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We hebben het eerder al gehad over vergelijkingen zoals x5 = 8.  Die kon je oplossen door ervan te maken x = 81/5
Deze methode werkt helaas niet als er meerdere x-en in een vergelijking voorkomen die we niet samen kunnen nemen.
Bijvoorbeeld bij   x4 + 3x3 = 0  zal de methode niet lukken.
Voor dit soort vergelijkingen hebben we een nieuwe aanpak nodig.
 

Een eerste opmerking
Denk eens even na; ben je het met de volgende bewering eens of niet?

"Als je twee getallen met elkaar vermenigvuldigt, en er komt NUL uit,
dan moet minstens n van die twee getallen NUL zijn".

Lijkt logisch, nietwaar? Je kunt met vermenigvuldigen nou eenmaal nooit op een andere manier er nul uitkrijgen. Het wil echt alleen als n van beiden nul is.
Wiskundig genoteerd ziet bovenstaande bewering er z uit:

A B = 0      A = 0      B = 0

(∨   betekent  "of ")
Wat hebben we hier aan?

Nou, je kunt deze eigenschap gebruiken om een moeilijke opgave te splitsen in twee makkelijkere opgaven.
Neem bijvoorbeeld de opgave  (x2 - 4) (3x + 9) = 0
Die ziet er niet erg makkelijk uit. Haakjes wegwerken helpt niet, want dan krijg je 3x3 + 9x2 -12x - 36 = 0  en die is niet op te lossen. 
Maar het wil wl als je je maar realiseert dat er in de oorspronkelijke opgave eigenlijk staat  A B  = 0 

De rode en de groene vergelijking zijn apart makkelijk op te lossen.

Hoe krijgen we die handige vorm  AB = 0 ?

En manier om dat voor elkaar te krijgen is de som-en productmethode die hier staat omschreven.
Maar ja, die werkt alleen bij kwadraatformules.
Er is gelukkig een tweede manier om haakjes "in een som te krijgen", en die manier is gelukkig heel eenvoudig: 

Zoek de dubbelen
Voorbeeld:
Neem de vergelijking  2x4 - 10x + 12x2 = 0
Daar staan eigenlijk drie stukjes, namelijk  2xen  -10x3 en  12x2 .
In al die drie stukjes zit x2.

Haal die x2 daarom voor de haakjes. 

Dan blijft er over  x2 (2x2 - 10x + 12) = 0

Dat is te splitsen in  x2 = 0  en  2x2 - 10x + 12 = 0

Die zijn apart makkelijk uit te rekenen 
(er komt trouwens uit x = 0 of x = 2  of x = 3)

opmerking:
In het voorbeeld hierboven zou je zelfs kunnen zeggen dat er 2x2 dubbel in al die drie blokjes zit, immers 10 = 2 5 en 12 = 2 6 dus er zit inderdaad ook een 2 dubbel in alledrie. Je kunt dan ook in n keer 2x2 voor de haakjes zetten en dat geeft  2x2(x2 - 5x + 6) = 0

Zijn er nog gevaren?

Nou ja, je moet wel even opletten of de oplossingen die je vindt wel mgen! Bij het splitsen zou het kunnen gebeuren dat je bij A = 0 een oplossing vindt waarvoor B helemaal niet bestaat.

Voorbeeld:
xx + 2√x = 0  heeft als dubbele √x
Buiten haakjes zetten geeft  √x(x + 2) = 0  en daar staat A B = 0 
Splitsen geeft  x = 0  of  x = -2
Maar die x = -2 mg helemaal niet, want de wortel van een negatief getal bestaat niet!
De enige oplossing is daarom x = 0

 
  OPGAVEN
 
1.  Los algebrasch op  (rond indien nodig af op 2 decimalen):
a.  x3 - 3x2 = 0

0 of 3

f.   6x2 = 4x9

0  of  1,06

b.  4x5 + 2x6 = 0

0 of -2

g.   x7  =  5x7 - x5 

0  of  1/2 of -1/2 

c.  x7 = 4x5

0 of 2 of -2

h.   17x8 - x6 = x8 

0  of  1/4 of   -1/4

d.  x7 - 243x2 = 0

0 of 3

i.    3x4 + x7 = x4 + 5x7 

0 of 0,79

e.  x8 = 125x5

0 of 5

j.    x2(x2 + x5) = 5x7 

0 of 0,63

2. Los algebrasch op:
a.  x4 + 7x3 + 10x2 = 0

0 of -5 of -2

e.   x8 = x7 + 6x6 

0 of 3 of -2

b.  x3 = 2x2 + 15x

0 of 5 of -3

f.    x - √x = 5√x

0 of 36

c.  4x5 - 12x3 =  8x4

0 of 3 of -1

g.   x2x - 2xx = 24√x

0 of 6

d.  x - 5√x = 0

0 of 25

h.   x6 + 3x5 = 10x4 

0 of -5 of 2

3. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005.
       
  Gegeven is de functie  f (x) = -x3 + 27x + 44

Q is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. De lijn k door Q  evenwijdig aan de x-as snijdt de grafiek ook nog in de punten P en R.

       
  a. Bereken de lengte van PR.  Rond je antwoord af op twee decimalen.
     

10,39

  Een familie van functies is gegeven door h(x) = (x + 4)(p + 4x - x2 ), waarbij p elk reel getal kan voorstellen.
       
  b. Toon aan met behulp van algebra dat er een waarde van p is waarbij de bijbehorende functie h gelijk is aan de functie f.
     

p = 11

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)