De hoek tussen twee lijnen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Twee lijnen kunnen op drie verschillende manieren ten opzichte van elkaar liggen, dat hadden we al eerder gezien:

(en dan is er zelfs nog het superflauwe geval van twee lijnen die samenvallen)
Evenwijdige (of samenvallende) lijnen zijn oninteressant wat de hoek ertussen betreft. Je zou kunnen zeggen: de hoek is 0 en meer valt er niet te beleven.
Snijdende lijnen en kruisende lijnen zijn veel interessanter.
Laten we eerst twee snijdende lijnen bekijken.
De hoek tussen twee SNIJDENDE LIJNEN
Als twee lijnen elkaar snijden dan liggen ze in n plat vlak. Als je de hoek tussen de lijnen wilt berekenen dan teken je dat vlak apart. Je tilt het als het ware uit de ruimtelijke figuur en legt het plat in je schrift neer.

hoek tussen snijdende lijnen;

"Teken het vlak waar beiden in liggen plat".

Dan heb je een vlakke figuur over waarin je de hoek tussen twee lijnen moet berekenen. Daarvoor zijn verschillende methoden, maar meestal gat het z in zijn werk:
  
Je gebruikt   Pythagoras of gelijkvormigheid om lengtes te berekenen.
Daarna gebruik je sos-cas-toa  of de cosinusregel om hoeken te berekenen.

Voorbeeld met sos-cas-toa

Neem de figuur hiernaast waarin we de hoek tussen  AM en EC willen berekenen.  Die liggen beiden in vlak ACGE, dus dat vlak tillen we eruit en leggen we plat neer:

AC is met Pythagoras berekend en is gelijk aan 6√2

Er valt meteen al n ding op: er zijn twee mogelijke hoeken bij het snijpunt S. Wiskundigen hebben met elkaar afgesproken om voor de hoek tussen de lijnen de scherpe hoek te nemen. 
sos-cas-toa in driehoek EAC geeft dat  tan∠ECA = EA/AC = 6/6√2  ⇒  ∠ECA ≈ 35,3
sos-cas-toa in driehoek EAM geeft dat tan∠EAM = EM/EA = 3√2/6 ⇒  ∠EAM ≈ 35,3 ⇒  ∠MAC ≈ 54,7
Dan is α = 180 - 35,3 - 54,7 = 90 

Voorbeeld met de cosinusregel.

In de balk ABCD.EFGH zijn de afmetingen als hiernaast. Bereken de hoek tussen AP en PQ.

In dit geval is het vlak APQ in ligt niet een "mooi" vlak binnen de balk.
De zijden van APQ kunnen we wel berekenen, het makkelijkst met "ruimtelijk" Pythagoras:
AP = √(42 + 52 + 42 ) = √57
PQ = √(12 + 22 )  = √5
AQ = √(62 + 42 + 22 ) = √56
Dan vind je met de cosinusregel in driehoek APQ:
(√56)2 = (√57)2 + (√5)2 - 2 √57 √5 cos∠APQ
⇒  56 = 57 + 5 - 2√57√5 cos∠APQ
⇒  -6 = -2√57√5 cos∠APQ
⇒  0,118 cos∠APQ  ⇒  ∠APQ ≈ 83,2  
1. Bereken de hoeken tussen de rode lijnen in de figuren hieronder. De afmetingen staan in de figuren aangegeven.

Antwoorden:

73,9

74,2

63,2

64,8

73,9

47,2

       
Tussendoortje:  kijkhoeken.

Een kijkhoek is niets anders dan de hoek tussen twee snijdende lijnen; de zogenaamde "kijklijnen".  Een wr snijden die lijnen elkaar......precies....op de plaats van jouw oog/de camera natuurlijk!
Dit soort vragen komen uit het brugklasboek:  "Teken de hoek waaronder het jongetje de ruiter ziet".
       

       
Dat is dan uiteraard de hoek a tussen de twee getekende snijdende lijnen. Die snijden elkaar bij het oog van het jongetje.
En natuurlijk kan dat ook in drie dimensies.
In de kamer hiernaast hangt een TL buis aan het plafond en een camera (C)  aan de rechtermuur. De hoek waaronder de TL-buis door de camera wordt gezien is weer de hoek tussen die twee lijnen en die snijden elkaar in C natuurlijk.

       
2. Bereken die hoek als de afmetingen zijn als hiernaast.

     

20,4

       
3. Vanaf punt C waar een camera hangt wordt gekeken naar een rode pijl, zoals in de figuur linksonder. De hoek waaronder de camera de rode pijl ziet noemen we hoek α.
       
 

       
  a. Bereken α in graden nauwkeurig in de situatie in de linker figuur, waarin de gehele tekening zich in het zelfde vlak bevindt.
     

51

  b. Bereken α in graden nauwkeurig in de situatie in de middelste figuur, waarin de rode pijl over een afstand van 4 naar achteren is verplaatst (let op de rechte hoek in het grondvlak).
     

38

  Als de rode pijl verder naar achteren wordt geschoven, dan neemt hoek α af.
In het begin gaat dat vrij snel, maar daarna steeds langzamer, want die hoek nadert natuurlijk langzaam naar nul.
Noem de afstand waarover de pijl naar achteren is geschoven x.
       
  c. Onderzoek met je GR of er een afstand x is waarbij de snelheid waarmee hoek α afneemt maximaal is.
     

x = 3,15

De hoek tussen twee KRUISENDE LIJNEN
Als de lijnen elkaar kruisen dan werkt het systeem hierboven niet meer. Immers dan liggen ze niet in n vlak, dus kun je ook niet zo'n vlak plat tekenen!
Wat te doen?

Kijk naar wat er gebeurt als je bij snijdende lijnen n van beide lijnen verplaatst.
In de linkerfiguur hieronder willen we graag de hoek tussen EC en AC berekenen. Het is de hoek met de groene stip.

In de middelste figuur hebben we AC omhoog verplaatst.  De hoek tussen beide lijnen is daarbij steeds gelijk aan n van de groene stippen. Maar die hoeken zijn allemaal gelijk (F-hoeken). Kennelijk verandert bij dat verplaatsen de hoek tussen beide lijnen niet.
In de rechterfiguur is EC verplaatst, evenwijdig aan zichzelf. Je ziet hetzelfde effect: de hoek verandert niet.

Als je een lijn evenwijdig aan zichzelf verplaatst,
 verandert de hoek met een andere lijn niet.

De oplossing is nu heel eenvoudig. Als twee lijnen elkaar kruisen verplaats je n van beide lijnen  evenwijdig aan zichzelf totdat hij de ander wl snijdt. Dan hebben we het probleem teruggebracht tot twee snijdende lijnen en daarvan kennen we de oplossing al.
Neem de kubus hiernaast.
Stel dat we de hoek tussen  AC en EM (M midden van BF) willen berekenen. Die snijden elkaar dus gaan we n van beiden verplaatsen.

Pak dat een beetje handig aan!
Je zou hier EM kunnen verplaatsen totdat M in C terecht is gekomen.
Maar je kunt natuurlijk ook AC verplaatsen totdat A in E is terechtgekomen.

Dat zijn de meest voor de hand liggende mogelijkheden:

In het linkergeval is het hoek  ACE' geworden, in het rechtergeval hoek  MEG.
Die hoeken zijn gelijk, en gelijk aan 50,8, reken het zelf maar na.

hoek tussen twee kruisende lijnen:

"Verplaats n van beiden evenwijdig aan zichzelf,
totdat hij de ander wl snijdt".

           
  OPGAVEN
4. Hieronder staan drie kubussen met ribben 4. P en Q zijn middens van de ribben HG en HD.

a. Bereken de hoek tussen AH en BQ

45

b. Bereken de hoek tussen AP en BD

76,4

c. Bereken de hoek tussen AQ en PF

36,9

           
5. Hieronder staat drie keer een symmetrische figuur ABCD.EF. ABCD is een rechthoek. EF ligt op hoogte 2 boven vlak ABCD.

a. Bereken de hoek tussen  ED en BF.

50,5

b. Bereken de hoek tussen BE en AC.

69,1

c. Bereken de hoek tussen BE en DF.

37,9

6. Olympiadevraagstuk.

In een kubus bereken je de hoeken AHB, AHC, AHF, BHC, BHF en CHF.

Hoeveel verschillende getallen krijg je dan?

 

         

twee; 60 en 35,3

           
7. Gegeven is het prisma ABCDE.FGHIJ zoals in de figuur hiernaast.
∠AED = 120 en   ∠EDC =  ∠BCD = 90
Punt P beweegt zich over de ribbe HI.
Punt Q is de projectie van P op het grondvlak.
De hoogte van het prisma is 3

Bereken welke waarden  ∠PAQ kan aannemen.

         

[34.1, 40.6]

           
8. a. Gegeven is kubus ABCD.EFGH met ribbe 4.
K is het midden van HG
Bereken de hoek tussen lijnen FK en BE in twee decimalen nauwkeurig.
       

71,58

  b. Gegeven is een regelmatige piramide T.ABCD waarvan alle ribben 8 zijn. M is het midden van BC.
Bereken de hoek tussen TM en AC.
         

65,9

  c. Gegeven is kubus ABCD.EFGH.  M is het midden van HD.
Bereken de hoek tussen AM en HB in graden nauwkeurig.
         

39

           
9. ABC.DEF is een prisma met een driehoekig boven- en ondervlak, waarvan alle ribben 6 zijn. 
P is het midden van AC.
Bereken de hoek tussen de lijnen DP en AB in graden nauwkeurig.
         

77,1

           
10. Gegeven is kubus ABCD.EFGH. M is het midden van AE.

Bereken de hoek tussen CM en BG

         

76,4

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)