h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. Driehoek EBG is gelijkzijdig met zijden 42.
BM2 + EM2 = EB2
BM2 = (42)2 - (22)2 = 32 - 8 = 24
BM = 24

tanα = 24/2 = 12
α = tan-1 12 = 73,9

       
  b. tan(NDB) = 2/42
∠NDB = tan-1 (2/42) = 19,47

tan(MBF) = 22/4
∠MBF = tan-1(22/4) = 35,26

dan is ∠DBM = 90 - 35,26 = 54,74
dan is ∠DSB = 180 - 54,74 - 19,47 = 105.79

α = 180 - 105,79 = 74,2

       
  c. tan(BQG) = 42/3
∠BQG = tan-1(42/3) = 62,06

tan(HBG) = 4/42
∠HBG = tan-1(4/42) = 35,26

dan is ∠QBS = 90 - 35,26 = 54,74
dan is ∠QSB = 180 - 54,74 - 62,06 = 63,2

       
  d. M is het midden van TC, dus is MP = 1/2TN = 2

tan(PAM) = MP/PA = 2/32
∠PAM = tan-1(2/32) = 25,24

∠ASN = 180 - 90 - 25,24 = 64,8
 

       
  e. EC = AE = 52 (Pythagoras)
Dus driehoek ACE is gelijkbenig, en MC = MA = 2

cos(MCE) = MC/CE = 2/52
∠MCE = cos-1(2/52) = 73,9

       
  f. Als K' het punt onder K is, dan is  BK' = 8  (2 zijden van gelijkzijdige driehoekjes van 4)

Dan is BK2 = 82 + 62 = 100  dus  BK = 10

sin(MSB) = MB/SB = 2/5
∠MSB = sin-1(2/5) = 23,58

∠ASB = 2 23,58 = 47,2

 

       
2. Noem het midden van het linkerzijvlak R.

CP2 = CR2 +  PR2 = 62 + 1,52 = 38,25
CP = 38,25

CS2 = 1,52 + 1,52 = 4,5
CQ2 = CS2 + QS2 = 4,5 + 42 = 20,5
CQ = 20,5

PQ2 = 22 + 1,52 = 6,25  dus  PQ = 6,25 = 2,5
       
  CPQ is een driehoek met zijden  38,25 en 20,5 en 2,5
cosinusregel:  2,52 = 38,25 + 20,5 - 2 38,25 20,5 cos(QCP)
cosQCP = 0,9374
∠QCP = cos-10,9374 = 20,4
       
3. a. tan(ECD) = 3/4  dus  ∠ECD = tan-1(3/4) = 36,87

tan(ECA) = 1/4 dus ∠ECA = tan-1(1/4) = 14,04

dan is ∠ACD = 36,87 + 14,04 = 50,9

       
  b. BF2 = 42 + 42 = 32  dus  BF = 32 = CE

tan(FCE) = 1/32  dus  ∠FCE = tan-1 (1/32) = 10,02

tan(ECD) = 3/32  dus  ∠ECD= tan-1(3/32) = 27,94

dan is  ∠FCD = 10,02 + 27,94 ≈ 38,0
 

       
  c. Herhaal de berekening van vraag b) maar nu met AF = x
BF2 = 42 + x2 = 16 + x2  dus  BF = (16 + x2)

tan(FCE) = 1/(16 + x2)  dus  ∠FCE = tan-1 (1/(16 + x2) )
tan(ECD) = 3/(16 + x2)    dus  ∠ECD = tan-1(3/(16 + x2) )

∠FCD = tan-1 (1/(16 + x2) ) + tan-1(3/(16 + x2) )

De snelheid waarmee ∠FCD verandert is gelijk aan de afgeleide daarvan.
Voer in je GR in:  Y1 = tan-1 (1/(16 + x2) ) + tan-1(3/(16 + x2) )  en  Y2 = nDerive(Y1, X, X)
calc - maximum van Y2 geeft dan (denk erom bij het instellen van WINDOW dat de hoek afneemt dus de afgeleide is negatief):    x = 3,15
       
4.

       
  a. Verplaats bijvoorbeeld BQ naar HM (M midden van BF)   (AH naar BG zou ook een optie zijn)
AM2 = 42 + 22 = 20  dus  AM = 20
AH2 = 42 + 42 = 32  dus  AH = 32
HM2 = HF2 + FM2 = 32 + 4 = 36 dus  HM = 6
cosinusregel in driehoek HMA:   20 = 32 + 36 - 2 32 6 cosAHM
Dat geeft  cos(AHM) = 0,7071  en  ∠AHM = 45
       
  b. Verplaats bijvoorbeeld BD naar PM  (M midden van FG)
PM2 = 22 + 22 = 8  dus PM = 8
AP2 = AH2 + HP2 = 32 + 4 = 36  dus  AP = 6
AM is gelijk aan AP dus ook 6;  driehoek APM is gelijkbenig met tophoek A
Als N het midden van PM is, dan is  cos(NPA) = PN/PA = 0,58/6 = 0,2357
Dus ∠NPA = 76,4 
       
  c. Verplaats bijvoorbeeld PF naar BM (M midden van DC)  en ook AQ naar BN (N midden van GC).
BM2 = 42 + 22 = 20 dus  BM = 20
BN2 = 42 + 22 = 20 dus  BN = 20
MN2 = 22 + 22 = 8  dus  MN = 8
MNB is een gelijkbenige driehoek met zijden 20 en 20 en 8, en het gaat om hoek B
Teken de hoogtelijn van B naar het midden P van MN
sin(MBP) = 0,58/20  dus  ∠MBP = sin-1(0,58/20) = 18,43
Dan is ∠MBN = 2 18,43 = 36,87
       
5. a. Verplaats bijvoorbeeld BF naar EP (met P op AB zodat PB = 2 en dus AP = 6)
Het is handig om het prisma eerst recht te maken: AGD.BHC.
AG2 = 32 + 22 = 13
Dus AG = EQ = 13
EP2 = EQ2 + QP2 = 13 + 9 = 22
Dus EP = ED = 22
PD2 = 62 + 62 = 72  dus   PD = 72 = 62
    sin(PEM) = 32/22  dus  ∠PEM = sin-1(32/22) = 64,76
Dan is ∠PED = 2 64,76 = 129,52
De hoek tussen de rode lijnen is dan 180 - 64,76 = 50,5
       
  b.

       
    Verplaats bijvoorbeeld AC naar BP (zodat CP = 8)
BE2 = 52 + 13 = 38  (want EQ = AG = 13)  dus  BE = 38.
BP2 = 82 + 62 = 100  dus  BP =10
EP2 = ER2 + RP2 = 13 + 132 = 182  dus  EP = 182.
cosinusregel in driehoek EBP:  182 = 38 + 100 - 238 10 cosEBP
Dat geeft  cosEBP = -0,3569  en dus  ∠EBP = 110,91
Dan is de hoek tussen de rode lijnen gelijk aan  180 - 110,91  = 69,1
       
  c. Verplaats bijvoorbeeld BE naar PF (met PB = 2)
PF2 = 52 + QF2 = 25 + 13 = 38 dus PF = 38
DF2 = DG2 + GF2  dus DF is ook 38
PD2 = 102 + 62 = 136 dus PD = 136
Driehoek DFP is gelijkbenig met top F.

Teken de hoogtelijn FF' daarin

    sin(F'FP) = F'P/FP = 0,5136/38 = 0,9459  dus ∠F'FP = 71,07
Dan is ∠DFP = 2 71,07 = 142,14
De hoek tussen de rode lijnen is 180 - 142,14 = 37,9
       
6. Als AB = 1  dan is  AH = 2  en HB = 3
tanAHB = 1/2  geeft  ∠AHB = 35,26
AHC is gelijkzijdig dus ∠AHC = 60
AHF is gelijkzijdig dus ∠AHF = 60
tanBHC = 1/2, dus ∠BHC = ∠AHB
tanBHF = 1/2 dus ∠BHF = ∠AHB
CHF is gelijkzijdig dus ∠CHF = 60
Je vindt dus twee verschillende hoeken. 
       
7.

       
  De hoek zal het grootst zijn als P het dichtst bij A ligt, en dat is als P recht tegenover A ligt, dus als de hoek DKA 90 zal zijn.
5/sin120 = 2/sinABE  in het bovenaanzicht geeft  sinABE = 0,3464 dus   ∠ABE = 20,27
Dan is ∠AEB = 180 - 120 - 20,27 = 39,73
sin39,73 = AL/2  geeft AL = 2 sin39,73 = 1,278
AK = 3 + 1,278 = 4,278  en  tanPAK = PK/AK = 3/4,278 = 0,7012  dus  ∠PAK = 35,0 is de grootste hoek.

De kleinste hoek zul je vinden als P zo ver mogelijk van A af zit, en dat is als P = H
cos39,373 = EL/2  geeft  EL = 2 cos39,73 = 1,538 dus KC = 5 - 1,538 = 3,462
AC2 = AK2 + KC2 = 4,2782 + 3,4622 = 30,287 dus  AC = 5,503
tanPAK = HC/AC = 3/5,503 = 0,545 dus ∠PAK = 28,6  is de kleinste hoek.
       
8. a. Verplaats FK bijvoorbeeld naar BM (M midden van DC)
BM2 = 42 + 22 = 20  dus  BM = 20
BE2 = 42 + 42 = 32 dus BE = 32
AM = BM = 20
ME2 = AM2 + EA2 = 20 + 16 = 36 dus ME = 6

cosinusregel in driehoek MBE:
36 = 20 + 32 - 2 20 32 cos EBM
cosEBM = 0,316  geeft  ∠EBM = 71,58
 

       
  b. Verplaats AC bijvoorbeeld naar NM (N midden van AB)
TN2 = TB2 - NB2 = 64 - 16 = 48
dus TN = TM = 48
NM2 = 42 + 42 = 32 dus NM = 32
Driehoek TNM is gelijkbenig met top T.
cosTMN = 0,5NM/TM = 0,532/48 = 0,4082
∠TMN = 65,9

       
  c. Verplaats AM bijvoorbeeld naar BN (N midden van CG)
BN2 = 42 + 22 = 20  dus  BN = 20
HN = BN =20
HB2 = HD2 + DB2 = 16 + 32 = 48  dus HB = 48

driehoek BNH is gelijkbenig met tophoek N.
cosHBN = 0,5HB/BN = 0,548/20 = 0,7746
∠HBN = 39,2

       
9. Verplaats bijvoorbeeld AB naar PQ (Q midden van BC)
Dan is PQ = 1/2AB = 3
PD2 = 32 + 62 = 45  dus PD = 45

AQ2 = AB2 - BQ2 = 36 - 9 = 27
DQ2 = AD2 + AQ2 = 36 + 27 = 63 dus DQ = 63

cosinusregel in driehoek PQD:
63 = 45 + 9 - 2 3 45 cosQPD
cosQPD = -0,2236
∠QPD = 102,92
De hoek tussen DP en PQ is dan 180 - 102,92 = 77,1

       
10. Verplaats bijvoorbeeld BG naar MN (N midden van EH)
Neem voor de zijden van de kubus bijvoorbeeld 4.

MN2 = 22 + 22 = 8  dus  MN = 8

Als N' de projectie van N op AD is,
is CN'2 = 42 + 22 = 20
CN2 = CN'2 + NN'2 = 20 + 16 = 36  dus  CN = 6

AC2 = 42 + 42 = 32
CM2 = AC2 + AM2 = 32 + 4 = 36 dus CM = 6

       
  Driehoek CMN is gelijkbenig met top C.
cosCNM = 0,5NM/CN = 0,58/6 = 0,2357
∠CNM = 76,4
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)