hoeken berekenen


Hoeken Berekenen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Intussen zijn we al zoveel verschillende manieren tegengekomen om hoeken te berekenen dat het tijd wordt die manieren eens even op een rijtje te zetten en daarna wat gemengde opgaven over hoeken te proberen.

Daar gaan we.....

1. F- X- en Z-hoeken.

Daar horen de volgende drie figuren bij:

De rode hoeken zijn steeds aan elkaar gelijk. Denk er bij F- hoeken en Z-hoeken om dat een voorwaarde is dat de twee lijnen met een pijl erin evenwijdig zijn.

2. Hoeken bij driehoeken.

Een gelijkzijdige driehoek (drie gelijke zijden) heeft drie hoeken van 60 graden.

Een gelijkbenige driehoek (twee gelijke zijden) heeft twee gelijke basishoeken.

De hoeken van een driehoek zijn samen 180º.

Dat heeft tot gevolg dat de hoek buiten de driehoek hiernaast (dat heet de buitenhoek) gelijk is aan de gele plus de groene. Ga dat zelf maar na.

3. De hoeken van een n-hoek.

Van een driehoek zijn de hoeken samen 180º, dat wist je al. Hoe is het met een vierhoek, vijfhoek, zeshoek, enz.?
Hiernaast zie je als voorbeeld een "veelhoek" (in dit geval een tienhoek").
Door vanuit één hoekpunt alle mogelijke diagonalen te tekenen krijg je 8 driehoeken. De hoeken van al die driehoeken samen zijn 8 • 180º = 1440º
Maar dat precies ook alle hoeken van de tienhoek!!! Dus die zijn ook samen 1440º.

Het aantal driehoeken dat je kunt tekenen is twee minder dan het aantal hoeken van de veelhoek. Immers vanuit één zo'n hoekpunt van een n-hoek gaan n - 3 diagonalen (niet naar het punt zelf en niet naar beide buurpunten). Dat geeft n -2 driehoeken, dus de som van de hoeken is 180 • (n - 2).

Werkt dat altijd?

Niet altijd. De diagonalen en de driehoeken die je tekent moeten namelijk wel helemaal binnen de veelhoek liggen. Dat is zo als de veelhoek "convex" is. "Convex" wil zeggen dat elk lijnstuk dat je tussen twee willekeurige hoekpunten tekent geheel binnen de veelhoek ligt.
Dat convex zijn is de enige voorwaarde. Verder hoeft de veelhoek niet regelmatig te zijn.

Regelmatige veelhoeken.

Bij regelmatige veelhoeken (alle zijden even lang) weet je dan ook nog dat alle hoeken even groot zijn. Bij de regelmatige tienhoek hierboven is elke hoek dus ¹⁴⁴⁰/₁₀ = 144º

4. Hoeken bij een cirkel (ja, dat kan!)

Een raaklijn aan een cirkel maakt een hoek van 90º met de lijn naar het middelpunt.

Omdat bij een cirkel de afstanden naar het middelpunt allemaal gelijk zijn aan de straal zijn er in een cirkel erg vaak gelijkbenige driehoeken te vinden, waarvan de basishoeken dan weer gelijk zijn.

Nou, daar moet je het voorlopig mee doen.

Hoogste tijd om dat allemaal maar eens door elkaar heen te gaan oefenen.

In een groene ruit met zijden 1 is een rode gelijkzijdige driehoek met zijden 1 getekend.

Bereken de grootte van de hoek met het vraagteken.

100º

In driehoek ABC zijn punten D, E en F getekend zodat AE = DE en EF = EB

Hoek C is 40º.

Bereken de grootte van hoek DEF

100º

Olympiadevraagstuk

Hiernaast staat een willekeurige ster met 5 punten

Bereken de som van de hoeken: a + b + c + d + e

180º

Olympiadevraagstuk

PR en QR zijn middellijnen van twee even grote cirkels die elkaar raken in R.
Vanuit P en Q zijn twee raaklijnen naar de andere cirkel getrokken.

Bereken de grootte van de hoek met het vraagteken in twee decimalen nauwkeurig.

141,06º

Olympiadevraagstuk

In de figuur hiernaast staan twee cirkelbogen van cirkels met middelpunten M₁ en M₂ getekend.

Bereken hoek a als de aangegeven hoek gelijk is aan 22º

46º

Olympiadevraagstuk

Hiernaast staat in een vierkant een gelijkzijdige groene driehoek getekend.
Hoe groot is hoek α?

150º

Olympiadevraagstuk.

140º

Olympiadevraagstuk.

Van een symmetrisch trapezium zijn de opstaande zijden even lang als de kortste evenwijdige zijde.
Verder is een diagonaal even lang als de langste evenwijdige zijde.

Bereken de hoek met het vraagteken.

108º

Olympiadevraagstuk

Bereken in de figuur hiernaast de som van de hoeken met een groen tekentje erin.

360º