Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Noem de linker en de rechterhoek van de ruit x
Vanwege de gelijkbenige driehoeken zijn die andere hoeken in de figuur ook x

De hoeken 180 - 2x volgen uit de hoekensom van een driehoek.

De hoeken 120 - x volgen uit een rechte lijn die 180º is.

Het vraagteken is gelijk aan de bovenste hoek van de ruit, dus dat is 180 - 2x + 180 - 2x + 60 = 420 - 4x

Hoekensom onderste driehoek:
120 - x + 120 - x + 420 - 4x = 180
6x = 480
x = 80º
Dan is het vraagteken gelijk aan 430 - 4 • 80 = 100º

Stel hoek A = x
dan is ∠ADE ook x (gelijkbenige driehoek)
dan is ∠AED = 180 - 2x (hoekensom driehoek AED).

∠B = 140 - x (hoekensom driehoek ABC)
∠EFB = 140 - x (gelijkbenige driehoek EBF)
∠FEB = 180 - (280 - 2x) = 2x - 100 (hoekensom EBF)

De hoek met het vraagteken is dan 180 - (180 - 2x) - (2x - 100) = 100º (gestrekt hoek AEB)

de vijf aangegeven hoeken volgen allemaal uit hoekensommen van driehoeken.

Als je ze allemaal optelt krijg je 5 • 180 - 2(a + b + c + d + e)
Dat moet gelijk zijn aan de hoekensom van een vijfhoek: 540º

Dat geeft a + b + c + d + e = 180º

In de rode driehoek geldt: sinα = ^r/_3r = ¹/₃
Dat geeft α = 19,47º
Dan is het vraagteken 180 - 2α (PQ is basis van een gelijkbenige driehoek met twee basishoeken α)
? = 141,06º

zie hiernaast. De rode r geeft steeds de straal van de cirkels.
Daardoor zijn er veel gelijkbenige driehoeken met gelijke basishoeken.

∠AM₂M₁ = 22˚ (basishoeken)
∠M₂M₁C = 44˚ (buitenhoek: ∠AM₁M₂= 136˚)
∠M₂CM₁ = 44˚ basishoeken
∠M₁M₂C = 92˚ (hoekensom driehoek)
∠BM₂C = 66˚ (gestrekte hoek)
∠M₂BC = 57˚ (basishoeken) = α

De hoeken van de gelijkzijdige driehoek zijn 60˚

Dan is de hoek rechts boven 30˚ (samen 90˚)

Dan zijn de andere twee hoeken van die gelijkbenige driehoek elk 75˚ (basishoeken)

Aan de andere kant geldt precies hetzelfde dus ook die hoek is 75˚
Dan is de overgebleven hoek bij het snijpunt gelijk aan 150˚ (samen 360˚)

trek lijn DC door naar B

de hoeken bij D zijn samen 180˚ (vandaar die hoek van 80˚)

hoek B is dan ook 80˚ (Z-hoeken)
De hoeken bij C zijn samen 180˚

De hoek bij A is dan 40˚ (hoekensom driehoek)
Het vraagteken is dan 140˚ (gestrekte hoek)

De vier zwarte x-hoeken volgen uit de symmetrie van de vierhoek en Z-hoeken.

de blauwe x-hoeken volgen dan uit de gelijkbenigheid van de driehoeken DBC en CAD.

de rode 2x hoek volgt uit de gelijkbenigheid van driehoek ACB

Dan is het vraagteken gelijk aan 3x
(want hoek BEC = 180 - 3x)

Dus geldt in driehoek ABE: 5x = 180º
x = 36º
Dan is het vraagteken gelijk aan 3x = 108º

Hiernaast zie je dat a + b + c + d + e + f samen gelijk is aan 360º (twee letters zijn steeds samen de buitenhoek van een driehoek).