De formule van Heron.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
De formule van Heron is een eenvoudige formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen waarvan de lengtes van de zijden bekend zijn. De formule luidt als volgt:
       

       
Daarin is A de oppervlakte, a, b en c zijn de drie zijden, en s is de halve omtrek.
       
Het Bewijs.
       
Voor het bewijs heb je twee formules als voorkennis nodig:
• de cosinusregel:   a2 = b2 + c2 - 2bccosα
• de oppervlakte van een driehoek:  A = 1/2bcsinα
     

De eerste staat in deze les uitgelegd, de tweede zie je direct in de figuur hiernaast.
De hoogtelijn h is gelijk aan csinα, dus de oppervlakte is  1/2 • b • h = 1/2bcsinα

Ok, over naar het bewijs.....
       
De algemene aanpak is de volgende:
• verander de cosinusregel in cosα = .....    
• gebruik sin2α + cos2α = 1 om daar sinα = .... van te maken
• die kun je dan weer gebruiken in de formule voor de oppervlakte A.
       
Als je nu de tellers samenneemt staat daar p2 - q2  en daar kun je van maken  (p - q)(p + q)
Maar daar boven staat alweer iets interessants:  2bc - b2 - c2 = -(b - c)2  en  b2 + c2 + 2bc = (b + c)2
Dat geeft:
En nu staat datzelfde merkwaardige product (p2 - q2) er alwιιr! Zelfs twee keer!!! Splitsen dus maar weer:
       
Nu kunnen we zo langzaamaan naar die omtrek toe.  Omdat s de halve omtrek is, geldt  2s = a + b + c
Dan is  a - b + c = 2s - 2b  en   a + b - c = 2s - 2c  en  b + c - a = 2s - 2a , en de vergelijking wordt: 
       
       
Al die factoren 2 in de teller onder de wortel geven samen een factor √16 = 4.
Tenslotte de formule voor de oppervlakte van de driehoek:  A = 1/2bcsinα:
 
       
       
  OPGAVEN
       
1. Bereken de vraagtekens in de volgende figuren. Het omcirkelde getal stelt de oppervlakte van de driehoek voor.
Rond je antwoorden af op 2 decimalen
       
 

     

11,98
5,48 of 11,40

       
2. Een gelijkbenige driehoek heeft een basiszijde van lengte 4, en twee gelijke andere zijden.
Bereken de lengte van die zijden als de oppervlakte van de driehoek gelijk is aan 20.
     

226

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)